Hitunglah nilai x dari persamaan Trigonometri berikut:

Nilai x yang memenuhi persamaan adalah ketika $\sin x = 4/5$ dan $\cos x = 3/5$, yang sesuai dengan $x = \arcsin(4/5)$ atau $x = \arccos(3/5)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri $\frac{1+\sin x}{\cos x} - \frac{1+\cos x}{1+\cos x - \sin x} = 1$, kita perlu menyederhanakan persamaan tersebut.

Langkah-langkah:
1.  **Samakan penyebut:** Cari KPK dari $\cos x$ dan $1+\cos x - \sin x$, yaitu $\cos x (1+\cos x - \sin x)$.

2.  **Kalikan silang:**
    $\frac{(1+\sin x)(1+\cos x - \sin x) - (1+\cos x)(\cos x)}{\cos x (1+\cos x - \sin x)} = 1$

3.  **Jabarkan pembilang:**
    $(1+\cos x - \sin x + \sin x + \sin x \cos x - \sin^2 x) - (\cos x + \cos^2 x) = \cos x (1+\cos x - \sin x)$
    $(1 + \cos x - \sin^2 x + \sin x \cos x) - (\cos x + \cos^2 x) = \cos x + \cos^2 x - \cos x \sin x$

4.  **Sederhanakan pembilang:**
    $1 + \cos x - \sin^2 x + \sin x \cos x - \cos x - \cos^2 x = \cos x + \cos^2 x - \cos x \sin x$
    $1 - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x \cos x = \cos x + \cos^2 x - \cos x \sin x$
    Ingat bahwa $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
    $1 - 1 + \sin x \cos x = \cos x + \cos^2 x - \cos x \sin x$
    $\sin x \cos x = \cos x + \cos^2 x - \cos x \sin x$

5.  **Pindahkan semua ke satu sisi:**
    $2 \sin x \cos x - \cos x - \cos^2 x = 0$

6.  **Faktorkan:**
    $\cos x (2 \sin x - 1 - \cos x) = 0$

7.  **Selesaikan untuk setiap faktor:**
    *   Kasus 1: $\cos x = 0$
        Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 90^\circ + k \cdot 180^\circ$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

    *   Kasus 2: $2 \sin x - 1 - \cos x = 0$
        $2 \sin x - \cos x = 1$
        Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggunakan metode sudut bantu atau mengubahnya ke bentuk tangen setengah sudut. Namun, perlu diperiksa kembali apakah ada kesalahan dalam penyalinan soal atau jika ada cara penyederhanaan lain yang lebih mudah.
        Jika kita menguji beberapa nilai, misalnya $x = 90^\circ$, maka $\cos 90^\circ = 0$, sehingga persamaan $\cos x (2 \sin x - 1 - \cos x) = 0$ terpenuhi.

Mari kita periksa kembali langkah penyederhanaan:
$\frac{(1+\sin x)(1+\cos x - \sin x) - (1+\cos x)(\cos x)}{\cos x (1+\cos x - \sin x)} = 1$
 Pembilang: $(1+\sin x)(1+\cos x - \sin x) = 1(1+\cos x - \sin x) + \sin x (1+\cos x - \sin x)$
 $= 1 + \cos x - \sin x + \sin x + \sin x \cos x - \sin^2 x$
 $= 1 + \cos x + \sin x \cos x - \sin^2 x$

Sekarang kurangi dengan $(1+\cos x)(\cos x) = \cos x + \cos^2 x$
 Pembilang menjadi: $(1 + \cos x + \sin x \cos x - \sin^2 x) - (\cos x + \cos^2 x)$
 $= 1 + \cos x + \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x - \cos^2 x$
 $= 1 - \sin^2 x - \cos^2 x + \sin x \cos x$
 $= 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x \cos x$
 $= 1 - 1 + \sin x \cos x$
 $= \sin x \cos x$

Jadi, persamaan menjadi:
$\frac{\sin x \cos x}{\cos x (1+\cos x - \sin x)} = 1$

Dengan asumsi $\cos x \neq 0$ dan $1+\cos x - \sin x \neq 0$:
$\frac{\sin x}{1+\cos x - \sin x} = 1$
$\sin x = 1+\cos x - \sin x$
$2 \sin x - \cos x = 1$

Kita kembali ke persamaan yang sama. Mari kita coba selesaikan $2 \sin x - \cos x = 1$. Kita bisa mengubahnya ke bentuk $R \sin(x - \alpha) = 1$ atau $R \cos(x + \alpha) = 1$.
Untuk $2 \sin x - \cos x$, $R = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
Kita bisa tulis sebagai $\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{5}} \cos x) = 1$.
Misalkan $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ dan $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Maka $\sqrt{5} \sin(x - \alpha) = 1$
$\sin(x - \alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Ini adalah solusi yang lebih kompleks. Mari kita periksa kembali apakah ada cara penyederhanaan lain atau jika ada nilai $x$ yang mudah.

Kita tahu dari langkah sebelumnya bahwa $\cos x = 0$ adalah solusi. Ini terjadi saat $x = 90^\circ$ atau $x = 270^\circ$ (dalam rentang $0^\circ$ hingga $360^\circ$).

Jika $\cos x = 0$, maka $x = 90^\circ$ atau $x = 270^\circ$.

Periksa $x = 90^\circ$:
$\frac{1+\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} - \frac{1+\cos 90^\circ}{1+\cos 90^\circ - \sin 90^\circ} = \frac{1+1}{0} - \frac{1+0}{1+0-1} = \frac{2}{0} - \frac{1}{0}$ (Tidak terdefinisi)

Periksa $x = 270^\circ$:
$\frac{1+\sin 270^\circ}{\cos 270^\circ} - \frac{1+\cos 270^\circ}{1+\cos 270^\circ - \sin 270^\circ} = \frac{1+(-1)}{0} - \frac{1+0}{1+0-(-1)} = \frac{0}{0} - \frac{1}{2}$ (Tidak terdefinisi)

Sepertinya ada masalah dengan asumsi $\cos x \neq 0$ jika kita membagi kedua sisi dengan $\cos x$. Namun, jika $\cos x = 0$, maka pembagian di ruas kiri tidak terdefinisi.

Mari kita kembali ke $2 \sin x - \cos x = 1$.
Jika kita menggunakan identitas $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ dan $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, di mana $t = \tan(x/2)$:
$2 \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1$
$\frac{4t - (1-t^2)}{1+t^2} = 1$
$4t - 1 + t^2 = 1+t^2$
$4t - 1 = 1$
$4t = 2$
$t = 1/2$
$\tan(x/2) = 1/2$

Ini memberikan solusi untuk $x$. Namun, kita juga perlu mempertimbangkan kasus ketika $x = 180^\circ + k 	imes 360^\circ$ (yang membuat $t$ tidak terdefinisi), atau jika $\cos x = 0$ secara asli merupakan solusi dari persamaan awal sebelum penyederhanaan.

Mari kita periksa kembali soalnya. Kemungkinan besar ada penyederhanaan yang terlewatkan atau ada kesalahan dalam soal.

Jika kita kembali ke $\cos x (2 \sin x - 1 - \cos x) = 0$, dan solusi $\cos x = 0$ menyebabkan pembagian dengan nol di soal awal, maka kita harus mengabaikan solusi $\cos x = 0$.

Jadi, kita fokus pada $2 \sin x - \cos x = 1$.
Kita punya $\tan(x/2) = 1/2$. Maka $x/2 = \arctan(1/2)$.
$x = 2 \arctan(1/2)$.

Untuk mendapatkan nilai $\sin x$ dan $\cos x$ dari $\tan(x/2) = 1/2$:
Buat segitiga siku-siku dengan sisi depan 1, sisi samping 2, sisi miring $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
$\sin(x/2) = 1/\sqrt{5}$
$\cos(x/2) = 2/\sqrt{5}$

$\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2) = 2 (1/\sqrt{5})(2/\sqrt{5}) = 4/5$
$\cos x = \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2) = (2/\sqrt{5})^2 - (1/\sqrt{5})^2 = 4/5 - 1/5 = 3/5$

Mari kita cek apakah $\sin x = 4/5$ dan $\cos x = 3/5$ memenuhi $2 \sin x - \cos x = 1$:
$2(4/5) - 3/5 = 8/5 - 3/5 = 5/5 = 1$. Ya, terpenuhi.

Sekarang, mari kita periksa apakah nilai-nilai ini membuat penyebut di soal asli menjadi nol.
$\cos x = 3/5 \neq 0$.
$1 + \cos x - \sin x = 1 + 3/5 - 4/5 = 1 - 1/5 = 4/5 \neq 0$.

Jadi, solusi yang valid adalah $\sin x = 4/5$ dan $\cos x = 3/5$. Nilai $x$ yang memenuhi ini berada di kuadran pertama.
Nilai $x = \arcsin(4/5)$ atau $x = \arccos(3/5)$.
Dalam derajat, ini sekitar $x \approx 53.13^\circ$.

Namun, jika soal meminta nilai $x$, biasanya dalam bentuk sudut standar jika memungkinkan.
Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau saya melewatkan cara penyederhanaan yang lebih elegan.