Nilai minimum dari fungsi y=x^4-6x^2-3 adalah ....

-12

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi y = x^4 - 6x^2 - 3, kita perlu menggunakan kalkulus. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Cari turunan pertama dari fungsi y terhadap x (y').
y' = d/dx (x^4 - 6x^2 - 3)
y' = 4x^3 - 12x

2. Untuk mencari titik kritis, atur turunan pertama sama dengan nol dan selesaikan untuk x.
4x^3 - 12x = 0
4x(x^2 - 3) = 0

Ini memberikan tiga kemungkinan solusi:
4x = 0  => x = 0
x^2 - 3 = 0 => x^2 = 3 => x = ±√3

Jadi, titik kritisnya adalah x = 0, x = √3, dan x = -√3.

3. Cari turunan kedua dari fungsi y terhadap x (y''). Turunan kedua akan membantu kita menentukan apakah titik kritis adalah maksimum, minimum, atau titik belok.
y'' = d/dx (4x^3 - 12x)
y'' = 12x^2 - 12

4. Evaluasi turunan kedua pada setiap titik kritis:
Untuk x = 0:
y''(0) = 12(0)^2 - 12 = -12
Karena y''(0) < 0, x = 0 adalah titik maksimum lokal.

Untuk x = √3:
y''(√3) = 12(√3)^2 - 12 = 12(3) - 12 = 36 - 12 = 24
Karena y''(√3) > 0, x = √3 adalah titik minimum lokal.

Untuk x = -√3:
y''(-√3) = 12(-√3)^2 - 12 = 12(3) - 12 = 36 - 12 = 24
Karena y''(-√3) > 0, x = -√3 adalah titik minimum lokal.

5. Hitung nilai y pada titik-titik minimum lokal tersebut:
Untuk x = √3:
y = (√3)^4 - 6(√3)^2 - 3
y = 9 - 6(3) - 3
y = 9 - 18 - 3
y = -12

Untuk x = -√3:
y = (-√3)^4 - 6(-√3)^2 - 3
y = 9 - 6(3) - 3
y = 9 - 18 - 3
y = -12

Nilai minimum dari fungsi y = x^4 - 6x^2 - 3 adalah -12.