Pernyataan berikut ini yang benar terkait titik ekstrem

Titik ekstrem fungsi adalah (0, 1) sebagai maksimum lokal, dan (2, -15) serta (-2, -15) sebagai minimum lokal.

Pembahasan

Untuk menentukan titik ekstrem fungsi \( f(x)=x^4-8x^2+1 \) dan jenisnya, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. 

Turunan pertama: \( f'(x) = 4x^3 - 16x \).
Untuk mencari titik stasioner, kita atur \( f'(x) = 0 \): 
\( 4x^3 - 16x = 0 \) 
\( 4x(x^2 - 4) = 0 \) 
\( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)
Jadi, titik stasionernya adalah \( x = 0, x = 2, x = -2 \).

Turunan kedua: \( f''(x) = 12x^2 - 16 \).
Sekarang kita uji jenis titik stasioner menggunakan turunan kedua:
- Untuk \( x = 0 \): \( f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \). Karena \( f''(0) < 0 \), maka titik \( x = 0 \) adalah titik maksimum lokal.
- Untuk \( x = 2 \): \( f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12(4) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Karena \( f''(2) > 0 \), maka titik \( x = 2 \) adalah titik minimum lokal.
- Untuk \( x = -2 \): \( f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12(4) - 16 = 48 - 16 = 32 \). Karena \( f''(-2) > 0 \), maka titik \( x = -2 \) adalah titik minimum lokal.

Nilai fungsi di titik-titik ekstrem:
- \( f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 1 = 1 \). Jadi, titik maksimum lokal adalah (0, 1).
- \( f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 1 = 16 - 8(4) + 1 = 16 - 32 + 1 = -15 \). Jadi, titik minimum lokal adalah (2, -15).
- \( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 1 = 16 - 8(4) + 1 = 16 - 32 + 1 = -15 \). Jadi, titik minimum lokal adalah (-2, -15).