Hitunglah setiap limit berikut ini. limit t->0 (sin^2

Hasil limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menghitung limit t → 0 dari (sin^2 t) / (sin t^2), kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Limit yang perlu dihitung adalah:
$ 
\lim_{t\to0} \frac{\sin^2 t}{\sin t^2} 
$

Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:
$ 
\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} \times \frac{\sin t}{t} \times \frac{t^2}{\sin t^2} 
$

Ini dapat dipecah menjadi:
$ 
\left(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t}\right) \times \left(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t}\right) \times \left(\lim_{t\to0} \frac{t^2}{\sin t^2}\right) 
$

Kita tahu bahwa salah satu limit dasar trigonometri adalah:
$ 
\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1 
$

Menggunakan sifat ini, kita dapat mengevaluasi setiap bagian:
1.  $ \lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1 $
2.  $ \lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1 $
3.  Untuk bagian ketiga, $ \lim_{t\to0} \frac{t^2}{\sin t^2} $, kita dapat melakukan substitusi. Misalkan $ u = t^2 $. Ketika $ t \to 0 $, maka $ u \to 0 $. Jadi, limit ini menjadi $ \lim_{u\to0} \frac{u}{\sin u} $. Ini adalah kebalikan dari limit dasar yang kita ketahui, sehingga:
    $ \lim_{u\to0} \frac{u}{\sin u} = \frac{1}{\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u}} = \frac{1}{1} = 1 $

Sekarang, kalikan hasil dari ketiga bagian tersebut:
$ 1 \times 1 \times 1 = 1 $

Jadi, hasil dari limit $ t \to 0 $ dari $ (\sin^2 t) / (\sin t^2) $ adalah 1.