Hitunglah setiap limit berikut! lim->pi/2 (sec x+1)/tan x

Hasil limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menghitung limit
lim
(sec x + 1) / tan x
ketika x mendekati π/2, kita bisa menggunakan substitusi atau aturan L'Hopital karena jika kita langsung substitusi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu.

Cara 1: Substitusi dengan identitas trigonometri
Kita tahu bahwa sec x = 1/cos x dan tan x = sin x / cos x.
Jadi, ekspresinya menjadi:
(1/cos x + 1) / (sin x / cos x)
= ((1 + cos x) / cos x) / (sin x / cos x)
= (1 + cos x) / sin x

Sekarang kita substitusi x = π/2:
(1 + cos(π/2)) / sin(π/2)
= (1 + 0) / 1
= 1

Cara 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan dari sec x adalah sec x tan x.
Turunan dari 1 adalah 0.
Turunan dari tan x adalah sec^2 x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim
(sec x tan x) / (sec^2 x)
= lim
tan x / sec x
= lim
(sin x / cos x) / (1 / cos x)
= lim
sin x

Sekarang kita substitusi x = π/2:
sin(π/2) = 1

Jadi, hasil limitnya adalah 1.