Akar-akar persamaan x^3-12x^2+44x+m=0 adalah alpha, beta,

Nilai (beta/gamma)^alpha adalah 64.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat akar-akar persamaan polinomial.

Diketahui persamaan: x^3 - 12x^2 + 44x + m = 0
Akar-akarnya adalah alpha, beta, dan gamma.
Diketahui juga: alpha > beta > gamma dan alpha = beta + gamma.

Menurut Vieta's formulas:
1. Jumlah akar-akar:
alpha + beta + gamma = -(-12)/1 = 12
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan:
alpha*beta + alpha*gamma + beta*gamma = 44/1 = 44
3. Hasil kali akar-akar:
alpha * beta * gamma = -m/1 = -m

Kita punya informasi alpha = beta + gamma. Substitusikan ini ke persamaan jumlah akar-akar:
(beta + gamma) + beta + gamma = 12
2 * (beta + gamma) = 12
beta + gamma = 6

Karena alpha = beta + gamma, maka alpha = 6.

Sekarang kita tahu salah satu akarnya adalah 6. Kita bisa substitusikan nilai alpha = 6 ke dalam persamaan polinomial untuk mencari nilai m:
(6)^3 - 12(6)^2 + 44(6) + m = 0
216 - 12(36) + 264 + m = 0
216 - 432 + 264 + m = 0
480 - 432 + m = 0
48 + m = 0
m = -48

Sekarang kita perlu mencari nilai beta dan gamma. Kita tahu:
beta + gamma = 6
alpha*beta + alpha*gamma + beta*gamma = 44
6*beta + 6*gamma + beta*gamma = 44
6(beta + gamma) + beta*gamma = 44
6(6) + beta*gamma = 44
36 + beta*gamma = 44
beta*gamma = 8

Kita memiliki sistem persamaan:
beta + gamma = 6
beta * gamma = 8

Ini berarti beta dan gamma adalah akar-akar dari persamaan kuadrat t^2 - (beta + gamma)t + beta*gamma = 0.
Jadi, t^2 - 6t + 8 = 0.
Faktorkan persamaan kuadrat:
(t - 2)(t - 4) = 0

Akar-akarnya adalah t = 2 dan t = 4.
Karena alpha > beta > gamma, dan alpha = 6, maka beta = 4 dan gamma = 2.

Periksa kondisi: alpha = beta + gamma -> 6 = 4 + 2 (Benar).

Terakhir, hitung nilai (beta/gamma)^alpha:
(beta/gamma)^alpha = (4/2)^6
(beta/gamma)^alpha = (2)^6
(beta/gamma)^alpha = 64

Jadi, nilai (beta/gamma)^alpha adalah 64.