Nilai sin 105+cos 15 =

Nilai dari sin 105° + cos 15° adalah (√6 + √2) / 2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\sin 105^{\circ} + \cos 15^{\circ}$, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk sinus dan kosinus, atau menggunakan sifat relasi sudut.

Metode 1: Menggunakan Identitas Penjumlahan Sudut
Kita dapat menulis $105^{\circ}$ sebagai $60^{\circ} + 45^{\circ}$ dan $15^{\circ}$ sebagai $45^{\circ} - 30^{\circ}$ atau $60^{\circ} - 45^{\circ}$. Mari kita gunakan $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$.

$\sin 105^{\circ} = \sin (60^{\circ} + 45^{\circ})$
$= \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ}$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^{\circ} = \cos (45^{\circ} - 30^{\circ})$
$= \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Jadi, $\sin 105^{\circ} + \cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Metode 2: Menggunakan Sifat Relasi Sudut
Kita tahu bahwa $\cos \theta = \sin (90^{\circ} - \theta)$.
Maka, $\cos 15^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$.
Jadi, $\sin 105^{\circ} + \cos 15^{\circ} = \sin 105^{\circ} + \sin 75^{\circ}$.

Kita dapat menggunakan identitas $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
$\sin 105^{\circ} + \sin 75^{\circ} = 2 \sin \frac{105^{\circ}+75^{\circ}}{2} \cos \frac{105^{\circ}-75^{\circ}}{2}$
$= 2 \sin \frac{180^{\circ}}{2} \cos \frac{30^{\circ}}{2}$
$= 2 \sin 90^{\circ} \cos 15^{\circ}$
$= 2 (1) \cos 15^{\circ}$
$= 2 \cos 15^{\circ}$

Kita sudah menghitung $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Maka, $2 \cos 15^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.