Hitunglah setiap limit berikut: limit x mendekati 0 (x sin

4

Pembahasan

Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{x \sin 2x}{1 - \cos x}\) ketika \(x\) mendekati 0, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, identitas trigonometri, atau aturan L'Hôpital jika kita mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\).

Langkah 1: Substitusi langsung
Jika kita substitusikan \(x = 0\) ke dalam fungsi:
\( \frac{0 \sin (2 	imes 0)}{1 - \cos 0} = \frac{0 \times 0}{1 - 1} = \frac{0}{0} \)
Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menggunakan metode lain.

Langkah 2: Menggunakan identitas trigonometri dan limit standar
Kita tahu identitas \(1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})\) dan limit standar \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 2x}{1 - \cos x}\)

Ganti \(1 - \cos x\) dengan \(2 \sin^2(\frac{x}{2})\):
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 2x}{2 \sin^2(\frac{x}{2})}\)

Sekarang, kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk \(\frac{\sin u}{u}\):
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{2} 	imes \frac{\sin 2x}{1} 	imes \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\)

Untuk \(\sin 2x\), kita perlu \(2x\) di penyebut. Untuk \(\sin^2(\frac{x}{2})\), kita perlu \((\frac{x}{2})^2\) di penyebut.

Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{2} 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes 2x 	imes \frac{1}{(\frac{x}{2})^2} 	imes \frac{(\frac{x}{2})^2}{\sin^2(\frac{x}{2})}\)
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{2} 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes 2x 	imes \frac{4}{x^2} 	imes \frac{(\frac{x}{2})^2}{\sin^2(\frac{x}{2})}\)

Sederhanakan:
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{2} 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes 2x 	imes \frac{4}{x^2} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2}\)
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{x 	imes 2x 	imes 4}{2 	imes x^2} 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2}\)
Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{8x^2}{2x^2} 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2}\)
Limit = \(\lim_{x \to 0} 4 	imes \frac{\sin 2x}{2x} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2}\)

Menggunakan limit standar \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\):

Limit = \(4 	imes 1 	imes \frac{1}{1^2}\)
Limit = \(4 	imes 1 	imes 1\)
Limit = 4

Langkah 3: Menggunakan Aturan L'Hôpital (Alternatif)
Karena kita mendapatkan bentuk \(\frac{0}{0}\), kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:

Pembilang: \(f(x) = x \sin 2x\)
\(f'(x) = (1) \sin 2x + x (\cos 2x 	imes 2) = \sin 2x + 2x \cos 2x\)

Penyebut: \(g(x) = 1 - \cos x\)
\(g'(x) = -(-\sin x) = \sin x\)

Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + 2x \cos 2x}{\sin x}\)
Substitusi \(x = 0\) lagi:
\(\frac{\sin 0 + 2(0) \cos 0}{\sin 0} = \frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}\)
Kita perlu menggunakan L'Hôpital lagi.

Turunkan lagi:
Pembilang: \(f'(x) = \sin 2x + 2x \cos 2x\)
\(f''(x) = (\cos 2x 	imes 2) + [ (2) \cos 2x + 2x (-\sin 2x 	imes 2) ]\)
\(f''(x) = 2 \cos 2x + 2 \cos 2x - 4x \sin 2x\)
\(f''(x) = 4 \cos 2x - 4x \sin 2x\)

Penyebut: \(g'(x) = \sin x\)
\(g''(x) = \cos x\)

Limit = \(\lim_{x \to 0} \frac{4 \cos 2x - 4x \sin 2x}{\cos x}\)
Substitusi \(x = 0\):
\(\frac{4 \cos 0 - 4(0) \sin 0}{\cos 0} = \frac{4(1) - 0}{1} = \frac{4}{1} = 4\)

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai dari limit \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin 2x}{1 - \cos x}\) adalah 4.