Hitunglah sigma k=1 20 k(k - 2)

2450

Pembahasan

Untuk menghitung $\sum_{k=1}^{20} k(k - 2)$, kita perlu menjabarkan ekspresi di dalam sigma dan kemudian menggunakan rumus-rumus sigma.

$\sum_{k=1}^{20} k(k - 2) = \sum_{k=1}^{20} (k^2 - 2k)$

Kita dapat memisahkan sigma ini menjadi dua bagian:

$= \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{20} 2k$

Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma kedua:

$= \sum_{k=1}^{20} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{20} k$

Sekarang, kita gunakan rumus sigma yang dikenal:
1. $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
2. $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Dalam kasus ini, $n = 20$.

Hitung $\sum_{k=1}^{20} k$:
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20(21)}{2} = 10(21) = 210$

Hitung $\sum_{k=1}^{20} k^2$:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2(20)+1)}{6} = \frac{20(21)(41)}{6}$
$= \frac{420(41)}{6} = 70(41) = 2870$

Sekarang substitusikan nilai-nilai ini kembali ke ekspresi awal:

$= 2870 - 2(210)$
$= 2870 - 420$
$= 2450$

Jadi, hasil dari $\sum_{k=1}^{20} k(k - 2)$ adalah 2450.