Hitunglah sin (pi/12) + sin ((11 pi)/12)

Hasil dari sin(pi/12) + sin(11pi/12) adalah (sqrt(6) - sqrt(2))/2.

Pembahasan

Untuk menghitung sin(pi/12) + sin(11pi/12), kita bisa menggunakan identitas penjumlahan sinus atau mengubah salah satu suku.

Metode 1: Menggunakan identitas penjumlahan sinus.
Identitas penjumlahan sinus adalah sin(A) + sin(B) = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2).
Dalam kasus ini, A = pi/12 dan B = 11pi/12.

A + B = pi/12 + 11pi/12 = 12pi/12 = pi
(A + B)/2 = pi/2

A - B = pi/12 - 11pi/12 = -10pi/12 = -5pi/6
(A - B)/2 = -5pi/12

Maka, sin(pi/12) + sin(11pi/12) = 2 sin(pi/2) cos(-5pi/12).
Kita tahu bahwa sin(pi/2) = 1.
Dan cos(-x) = cos(x), jadi cos(-5pi/12) = cos(5pi/12).

Jadi, ekspresinya menjadi 2 * 1 * cos(5pi/12) = 2 cos(5pi/12).

Untuk mencari nilai cos(5pi/12), kita bisa menggunakan identitas cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB.
Misalkan A = pi/3 dan B = pi/4.
Maka A - B = pi/3 - pi/4 = 4pi/12 - 3pi/12 = pi/12. Ini bukan yang kita cari.

Mari kita gunakan A = pi/4 dan B = pi/6.
Maka A - B = pi/4 - pi/6 = 3pi/12 - 2pi/12 = pi/12. Ini juga bukan.

Coba gunakan A = 3pi/4 dan B = pi/3. Maka A-B = 9pi/12 - 4pi/12 = 5pi/12
cos(5pi/12) = cos(3pi/4 - pi/3) = cos(3pi/4)cos(pi/3) + sin(3pi/4)sin(pi/3)
= (-sqrt(2)/2)(1/2) + (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2)
= -sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4

Maka, 2 cos(5pi/12) = 2 * (sqrt(6) - sqrt(2))/4 = (sqrt(6) - sqrt(2))/2.

Metode 2: Mengubah salah satu suku.
Kita tahu bahwa sin(pi - x) = sin(x).
Perhatikan bahwa 11pi/12 = pi - pi/12.
Maka, sin(11pi/12) = sin(pi - pi/12) = sin(pi/12).

Jadi, sin(pi/12) + sin(11pi/12) = sin(pi/12) + sin(pi/12) = 2 sin(pi/12).

Sekarang kita perlu mencari nilai sin(pi/12).
Kita bisa gunakan identitas sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB.
Misalkan A = pi/4 dan B = pi/6.
Maka A - B = pi/4 - pi/6 = 3pi/12 - 2pi/12 = pi/12.

sin(pi/12) = sin(pi/4 - pi/6) = sin(pi/4)cos(pi/6) - cos(pi/4)sin(pi/6)
= (sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) - (sqrt(2)/2)(1/2)
= sqrt(6)/4 - sqrt(2)/4 = (sqrt(6) - sqrt(2))/4.

Maka, 2 sin(pi/12) = 2 * (sqrt(6) - sqrt(2))/4 = (sqrt(6) - sqrt(2))/2.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.