Iimit x -> 0 (2x^2+x)/sin x sama dengan . . . .

Nilai limit adalah 1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari limit $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2+x}{\sin x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung (jika memungkinkan) atau menggunakan aturan L'Hôpital, atau menggunakan ekspansi deret Taylor untuk $\sin x$.

Metode 1: Substitusi Langsung
Jika kita substitusikan x = 0 ke dalam persamaan, kita mendapatkan $\frac{2(0)^2+0}{\sin 0} = \frac{0}{0}$. Bentuk ini adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menggunakan metode lain.

Metode 2: Aturan L'Hôpital
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital. Aturan ini menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = 2x^2 + x$ dan $g(x) = \sin x$.
Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x) = 4x + 1$.
Turunan pertama dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \cos x$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{4x+1}{\cos x}$

Sekarang, kita substitusikan x = 0:
$\frac{4(0)+1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Metode 3: Menggunakan Identitas Limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Kita dapat memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan identitas limit yang diketahui.

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2+x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x+1)}{\sin x}$

Kita bisa memisahkan x di pembilang dan penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \times \lim_{x \to 0} (2x+1)$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, sehingga $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.

Dan $\lim_{x \to 0} (2x+1) = 2(0)+1 = 1$.

Jadi, limitnya adalah $1 \times 1 = 1$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Nilai limit x -> 0 (2x^2+x)/sin x adalah 1.