Ingatlah kembali teorema binomial sebagai berikut. (x+y)^n

Koefisien suku xy^3 dari f(x) + 2g(x) adalah 56.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan koefisien suku xy^3 dari ekspresi f(x) + 2g(x), di mana f(x) = 2(x-y)^4 dan g(x) = (x + 2y)^4.

Kita akan menggunakan Teorema Binomial, yang menyatakan bahwa:
(a+b)^n = sigma_{k=0}^n C(n,k) a^(n-k) b^k

Langkah 1: Cari suku xy^3 dari f(x) = 2(x-y)^4.
Dalam kasus f(x), a = x, b = -y, dan n = 4.
Suku yang mengandung y^3 akan memiliki k=3 (karena b^k = (-y)^k).
Suku untuk k=3 adalah C(4,3) x^(4-3) (-y)^3.
C(4,3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4.
Jadi, suku tersebut adalah 4 * x^1 * (-y)^3 = 4x * (-y^3) = -4xy^3.

Karena f(x) = 2(x-y)^4, maka koefisien suku xy^3 dari f(x) adalah 2 * (-4) = -8.
Jadi, dari f(x), kita mendapatkan suku -8xy^3.

Langkah 2: Cari suku xy^3 dari g(x) = (x + 2y)^4.
Dalam kasus g(x), a = x, b = 2y, dan n = 4.
Kita mencari suku yang mengandung xy^3. Ini berarti kita memerlukan y^3 dari (2y)^k, sehingga k=3.
Suku untuk k=3 adalah C(4,3) x^(4-3) (2y)^3.
C(4,3) = 4.
Jadi, suku tersebut adalah 4 * x^1 * (2y)^3 = 4x * (8y^3) = 32xy^3.

Sekarang kita perlu menghitung 2g(x). Koefisien suku xy^3 dari 2g(x) adalah 2 * 32 = 64.
Jadi, dari 2g(x), kita mendapatkan suku 64xy^3.

Langkah 3: Jumlahkan koefisien suku xy^3 dari f(x) + 2g(x).
Koefisien dari f(x) adalah -8.
Koefisien dari 2g(x) adalah 64.

Koefisien total = Koefisien dari f(x) + Koefisien dari 2g(x)
Koefisien total = -8 + 64 = 56.

Jadi, koefisien suku xy^3 dari f(x) + 2g(x) adalah 56.