integral 0 2 ((x^2-5x)/x) dx

Nilai dari integral tentu integral 0 sampai 2 ((x^2-5x)/x) dx adalah -8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu integral dari 0 sampai 2 untuk ((x^2-5x)/x) dx, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Sederhanakan integrand.
Integrandnya adalah ((x^2-5x)/x). Kita bisa membaginya menjadi dua suku:
(x^2/x) - (5x/x) = x - 5 (dengan asumsi x tidak sama dengan 0).

Langkah 2: Hitung integral tentu dari fungsi yang disederhanakan.
Kita perlu menghitung integral dari (x - 5) dx dari 0 sampai 2.
Integral dari x adalah (1/2)x^2.
Integral dari -5 adalah -5x.
Jadi, integral tak tentu dari (x - 5) dx adalah (1/2)x^2 - 5x + C.

Langkah 3: Terapkan batas integrasi.
Kita akan mengevaluasi [(1/2)x^2 - 5x] dari 0 sampai 2.
Ini sama dengan [((1/2)(2)^2 - 5(2)) - ((1/2)(0)^2 - 5(0))].

Hitung nilai pada batas atas (x=2):
(1/2)(4) - 10 = 2 - 10 = -8.

Hitung nilai pada batas bawah (x=0):
(1/2)(0) - 0 = 0.

Langkah 4: Kurangkan nilai pada batas bawah dari nilai pada batas atas.
-8 - 0 = -8.

Jadi, hasil dari integral 0 sampai 2 ((x^2-5x)/x) dx adalah -8.

Penting untuk dicatat bahwa meskipun integrand asli memiliki x di penyebut, penyederhanaan menjadi x-5 valid untuk interval integrasi (0, 2) karena x tidak pernah sama dengan 0 dalam interval terbuka tersebut. Namun, secara teknis, integral ini adalah integral tak wajar karena titik singularitas pada x=0, tetapi karena batas bawahnya adalah 0 dan perilaku fungsi di sekitar 0 tidak menyebabkan divergensi yang signifikan (fungsi mendekati 0), evaluasi langsung sering kali diterima dalam konteks ini.