integral -2 2(x^3 cos x/2+1/2) akar(4-x^2) dx

π

Pembahasan

Kita diminta untuk mengevaluasi integral tentu dari -2 sampai 2 untuk fungsi $f(x) = (x^3 \cos x/2 + 1/2) \sqrt{4-x^2}$.\nMari kita analisis fungsi di dalam integral. Fungsi ini adalah hasil perkalian dari dua bagian: $(x^3 \cos x/2 + 1/2)$ dan $\sqrt{4-x^2}$.\nPerhatikan bahwa batas integrasinya adalah simetris terhadap nol, yaitu dari -a sampai a, di mana a=2.\nKita bisa memecah integral ini menjadi dua bagian:\nIntegral dari -2 sampai 2 dari $x^3 \cos(x/2) \sqrt{4-x^2} dx$ ditambah integral dari -2 sampai 2 dari $1/2 \sqrt{4-x^2} dx$.\nUntuk integral pertama, $I_1 = \int_{-2}^{2} x^3 \cos(x/2) \sqrt{4-x^2} dx$.\nPerhatikan bahwa fungsi $g(x) = x^3 \cos(x/2) \sqrt{4-x^2}$ adalah fungsi ganjil. Mengapa?\n$g(-x) = (-x)^3 \cos(-x/2) \sqrt{4-(-x)^2}$\n$g(-x) = -x^3 \cos(x/2) \sqrt{4-x^2}$ (karena $(-x)^3 = -x^3$ dan $\cos(-x/2) = \cos(x/2)$)\n$g(-x) = -g(x)$.\nKarena $g(x)$ adalah fungsi ganjil dan batas integrasinya simetris, maka hasil integral dari fungsi ganjil pada interval simetris adalah nol.\nJadi, $I_1 = 0$.\nSekarang kita evaluasi integral kedua, $I_2 = \int_{-2}^{2} 1/2 \sqrt{4-x^2} dx$.\nKita bisa mengeluarkan konstanta 1/2 dari integral: $I_2 = 1/2 \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$.\nPerhatikan bahwa fungsi $h(x) = \sqrt{4-x^2}$ merepresentasikan setengah lingkaran atas dengan jari-jari 2 (karena $y = \sqrt{4-x^2}$ berarti $y^2 = 4-x^2$, atau $x^2+y^2 = 4$, dengan $y \ge 0$).\nIntegral dari -2 sampai 2 dari $\sqrt{4-x^2}$ merepresentasikan luas setengah lingkaran dengan jari-jari 2.\nLuas lingkaran adalah $\pi r^2$. Luas setengah lingkaran adalah $(1/2) \pi r^2$. Dengan $r=2$, luas setengah lingkaran adalah $(1/2) \pi (2^2) = (1/2) \pi (4) = 2\pi$.\nJadi, $\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = 2\pi$.\nMaka, $I_2 = 1/2 * (2\pi) = \pi$.\nTotal integral adalah $I_1 + I_2 = 0 + \pi = \pi$.