integral 2 cos (1-2x) sin x dx= ....

Integral ini tidak dapat diselesaikan dengan metode standar tanpa penyederhanaan lebih lanjut atau asumsi kesalahan penulisan.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int 2 \cos(1-2x) \sin x dx\), kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan mungkin integrasi parsial atau substitusi.

Namun, integral ini tampaknya tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan metode standar tanpa informasi tambahan atau penyederhanaan lebih lanjut.

Mari kita coba gunakan identitas perkalian ke penjumlahan:
\(\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)]\)

Dalam kasus ini, kita punya \(2 \cos(1-2x) \sin x\). Ini tidak sesuai langsung dengan pola \(A\) dan \(B\) di atas karena \((1-2x)\) bukan variabel tunggal yang sederhana.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam soal dan seharusnya melibatkan fungsi yang sama atau dapat disederhanakan, misalnya:

Kasus 1: Jika soalnya \(\int 2 \cos(x) \sin x dx\)
Ini bisa diselesaikan dengan substitusi \(u = \sin x\), \(du = \cos x dx\), atau \(u = \cos x\), \(du = -\sin x dx\). Menggunakan identitas \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\), integralnya menjadi \(\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C\).

Kasus 2: Jika soalnya \(\int 2 \cos(1-2x) \sin(1-2x) dx\)
Substitusi \(u = \sin(1-2x)\), \(du = -2 \cos(1-2x) dx\). Integral menjadi \(\int -u du = -\frac{1}{2} u^2 + C = -\frac{1}{2} \sin^2(1-2x) + C\).

Namun, dengan bentuk soal yang diberikan: \(\int 2 \cos(1-2x) \sin x dx\), tidak ada identitas trigonometri langsung yang menyederhanakan \(\cos(1-2x)\) dan \(\sin x\) secara bersamaan ke bentuk yang mudah diintegralkan.

Kemungkinan soal ini memerlukan teknik yang lebih lanjut atau mungkin ada kesalahan penulisan.

Jika kita mencoba integrasi parsial dengan \(u = 2 \cos(1-2x)\) dan \(dv = \sin x dx\):
\(du = 2(-\sin(1-2x))(-2) dx = 4 \sin(1-2x) dx\)
\(v = -\cos x\)

\(\int u dv = uv - \int v du\)
\(\int 2 \cos(1-2x) \sin x dx = (2 \cos(1-2x))(- \cos x) - \int (- \cos x)(4 \sin(1-2x)) dx\)
\(= -2 \cos(1-2x) \cos x + 4 \int \cos x \sin(1-2x) dx\)

Integral yang baru \(\int \cos x \sin(1-2x) dx\) juga rumit.

Karena keterbatasan dalam menyederhanakan \(\cos(1-2x)\) dan \(\sin x\) bersama-sama ke bentuk yang dapat diintegralkan secara langsung, dan asumsi kesalahan penulisan tidak dapat dibuat tanpa konfirmasi, kami tidak dapat memberikan hasil definitif untuk soal ini seperti yang tertulis.