Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Integral 7x/akar(5x^3) dx=...
Pertanyaan
Integral 7x/akar(5x^3) dx=...
Solusi
Verified
Hasil integralnya adalah (14√5 / 5)√x + C.
Pembahasan
Kita diminta untuk menyelesaikan integral berikut: ∫(7x / √(5x³)) dx Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam integral: √(5x³) = √(5 * x² * x) = √5 * √(x²) * √x = √5 * |x| * √x Karena kita biasanya bekerja dengan domain di mana x > 0 dalam konteks seperti ini untuk menghindari masalah akar kuadrat dari bilangan negatif atau pembagian dengan nol, kita dapat mengasumsikan x > 0, sehingga |x| = x. Jadi, √(5x³) = √5 * x * √x = √5 * x^(3/2). Ekspresi integral menjadi: ∫ (7x / (√5 * x^(3/2))) dx Kita bisa mengeluarkan konstanta dari integral: (7 / √5) ∫ (x / x^(3/2)) dx Sederhanakan bagian x: x / x^(3/2) = x^(1 - 3/2) = x^(-1/2). Integral sekarang adalah: (7 / √5) ∫ x^(-1/2) dx Sekarang, kita gunakan aturan pangkat untuk integral: ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C, di mana n ≠ -1. Di sini, n = -1/2. n + 1 = -1/2 + 1 = 1/2. Jadi, integral dari x^(-1/2) adalah: x^(1/2) / (1/2) = 2 * x^(1/2) = 2√x. Sekarang, kita gabungkan kembali dengan konstanta: (7 / √5) * (2√x) + C = (14 / √5) √x + C Kita bisa merasionalkan penyebutnya: (14 / √5) * (√5 / √5) * √x + C = (14√5 / 5) √x + C Atau, kita bisa menulis √x sebagai x^(1/2): (14 / √5) * x^(1/2) + C = (14√5 / 5) * x^(1/2) + C Kita juga bisa menulis ulang bentuknya: (14 / √5) √(x) = 14 * √(x/5) = 14 * √(5x) / 5. Jadi, integralnya adalah (14√5 / 5)√x + C atau 14√(x/5) + C. Mari kita periksa kembali penyederhanaan awal: 7x / √(5x³) = 7x / (√5 * x^(3/2)) = (7/√5) * x^(1 - 3/2) = (7/√5) * x^(-1/2). Integralnya adalah (7/√5) * (x^(-1/2 + 1) / (-1/2 + 1)) + C = (7/√5) * (x^(1/2) / (1/2)) + C = (7/√5) * 2 * x^(1/2) + C = (14/√5) * √x + C Merasionalkan penyebut: (14√5 / 5) √x + C. Jawaban akhirnya adalah (14√5 / 5)√x + C.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tak Tentu
Section: Aturan Dasar Integral
Apakah jawaban ini membantu?