Kelas 11Kelas 12mathTrigonometri
Jika sin a+sin b=k dan cos a+cos b=m,
Pertanyaan
Jika sin a+sin b=k dan cos a+cos b=m, buktikan bahwa k+m=2sin(1/2(a+b))cos(1/2(a-b)) + 2cos(1/2(a+b))sin(1/2(a-b)).
Solusi
Verified
Pembuktian identitas trigonometri menggunakan rumus penjumlahan sinus dan kosinus.
Pembahasan
Untuk membuktikan identitas tersebut, kita akan menggunakan rumus penjumlahan sinus dan kosinus: sin a + sin b = 2 sin(1/2(a+b)) cos(1/2(a-b)) cos a + cos b = 2 cos(1/2(a+b)) sin(1/2(a-b)) Diketahui: sin a + sin b = k cos a + cos b = m Maka, k + m = [2 sin(1/2(a+b)) cos(1/2(a-b))] + [2 cos(1/2(a+b)) sin(1/2(a-b))] Mengeluarkan faktor yang sama, yaitu 2: k + m = 2 [sin(1/2(a+b)) cos(1/2(a-b)) + cos(1/2(a+b)) sin(1/2(a-b))] Menggunakan identitas trigonometri sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y, dengan x = 1/2(a+b) dan y = 1/2(a-b): sin(1/2(a+b)) cos(1/2(a-b)) + cos(1/2(a+b)) sin(1/2(a-b)) = sin(1/2(a+b) + 1/2(a-b)) = sin(1/2(a+b+a-b)) = sin(1/2(2a)) = sin a Jadi, k + m = 2 sin a. Pertanyaan Anda meminta untuk membuktikan: k+m=2cos(1/2(a-b))[sin(1/2(a+b))cos(1/2(a+b))] Mari kita analisis bagian kanan dari persamaan yang diminta: 2cos(1/2(a-b))[sin(1/2(a+b))cos(1/2(a+b))] Menggunakan identitas trigonometri sin(2x) = 2sin x cos x, kita bisa tulis sin(1/2(a+b))cos(1/2(a+b)) sebagai 1/2 sin(a+b). Jadi, bagian kanan menjadi: 2cos(1/2(a-b)) * [1/2 sin(a+b)] = cos(1/2(a-b)) sin(a+b) Ini tidak sama dengan k+m = 2 sin a. Namun, jika kita perhatikan kembali pertanyaan Anda, mungkin ada kesalahan penulisan dalam soal yang diberikan. Jika yang diminta adalah membuktikan: k + m = 2 sin(1/2(a+b)) cos(1/2(a-b)) + 2 cos(1/2(a+b)) sin(1/2(a-b)) Maka pembuktiannya adalah seperti di atas, yang menghasilkan k + m = 2 sin a. Jika kita mencoba membuktikan: k + m = 2 cos(1/2(a - b)) [sin(1/2(a + b)) + cos(1/2(a + b))] Ini juga tidak akan menghasilkan k + m. Dengan asumsi bahwa soalnya adalah membuktikan: **k + m = 2 sin(1/2(a+b))cos(1/2(a-b)) + 2 cos(1/2(a+b))sin(1/2(a-b))** Bukti: Kita mulai dengan menjumlahkan kedua persamaan yang diberikan: k + m = (sin a + sin b) + (cos a + cos b) Menggunakan rumus penjumlahan trigonometri: sin a + sin b = 2 sin((a+b)/2) cos((a-b)/2) cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2) Maka, k + m = [2 sin((a+b)/2) cos((a-b)/2)] + [2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)] Ini adalah bentuk yang diminta jika ada sedikit modifikasi pada soal asli Anda.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Rumus Penjumlahan Dan Pengurangan Fungsi Trigonometri
Section: Identitas Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?