integral 9x akar(3x^2+1) dx=...

Hasil integralnya adalah (3x² + 1)^(3/2) + C.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menyelesaikan integral tak tentu dari fungsi yang melibatkan akar.
Integral yang diberikan adalah ∫ 9x√(3x²+1) dx.
Kita bisa menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan integral ini.
Misalkan u = 3x² + 1.
Kemudian, kita cari turunan u terhadap x: du/dx = 6x.
Dari sini, kita dapatkan dx = du / (6x).

Sekarang, substitusikan u dan dx ke dalam integral:
∫ 9x * √u * (du / (6x))
Kita bisa menyederhanakan 9x / (6x) menjadi 9/6 = 3/2.
Jadi, integralnya menjadi:
∫ (3/2) * √u du

Kita bisa mengeluarkan konstanta 3/2 dari integral:
(3/2) ∫ u^(1/2) du

Sekarang, kita integralkan u^(1/2) menggunakan aturan pangkat ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C:
(3/2) * [u^((1/2)+1) / ((1/2)+1)] + C
(3/2) * [u^(3/2) / (3/2)] + C

Kita bisa menyederhanakan (3/2) / (3/2), yang hasilnya adalah 1.
Jadi, hasil integralnya adalah u^(3/2) + C.

Terakhir, substitusikan kembali u = 3x² + 1:
(3x² + 1)^(3/2) + C.

Ini bisa juga ditulis sebagai (3x² + 1)√(3x² + 1) + C.