integral ((x^4-1)/(x^2+1)) dx=...

Hasil integralnya adalah $\frac{x^3}{3} - x + C$.

Pembahasan

Untuk menghitung integral dari $\frac{x^4-1}{x^2+1} dx$, kita bisa menyederhanakan fungsi yang diintegralkan terlebih dahulu.
Perhatikan pembilang $x^4-1$. Ini adalah bentuk selisih kuadrat, $(x^2)^2 - 1^2$, yang dapat difaktorkan menjadi $(x^2-1)(x^2+1)$.

Jadi, $\frac{x^4-1}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}$.

Kita bisa membatalkan faktor $(x^2+1)$ di pembilang dan penyebut, asalkan $x^2+1 \neq 0$. Karena $x^2$ selalu non-negatif untuk bilangan real $x$, maka $x^2+1$ selalu positif dan tidak pernah nol.

Setelah penyederhanaan, fungsi menjadi $x^2-1$.

Sekarang kita perlu menghitung integral dari $x^2-1$ terhadap $x$:
$\int (x^2-1) dx$

Menggunakan aturan pangkat untuk integral, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, dan integral dari konstanta $\int k dx = kx + C$:

$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$
$\int -1 dx = -x$

Jadi, integralnya adalah:
$\frac{x^3}{3} - x + C$

Dimana C adalah konstanta integrasi.

**Langkah-langkah:**
1. Faktorkan pembilang: $x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)$.
2. Sederhanakan pecahan: $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1} = x^2-1$.
3. Integralkan fungsi yang disederhanakan: $\int (x^2-1) dx$.
4. Gunakan aturan pangkat untuk integral: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$ dan $\int -1 dx = -x$.
5. Hasil integral: $\frac{x^3}{3} - x + C$.