Interval x yang membuat kurva fungsi f(x)=x^3-6x^2+9x+2

Interval x yang membuat fungsi turun adalah (1, 3).

Pembahasan

Untuk menentukan interval x di mana fungsi f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 selalu turun, kita perlu menganalisis turunan pertama dari fungsi tersebut. Fungsi dikatakan turun jika turunan pertamanya negatif (f'(x) < 0).

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x).
Turunan dari x³ adalah 3x².
Turunan dari -6x² adalah -12x.
Turunan dari 9x adalah 9.
Turunan dari 2 adalah 0.

Jadi, f'(x) = 3x² - 12x + 9.

Langkah 2: Cari nilai-nilai x di mana f'(x) = 0 untuk menemukan titik kritis.
3x² - 12x + 9 = 0
Bagi seluruh persamaan dengan 3:
x² - 4x + 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 1)(x - 3) = 0

Maka, titik kritisnya adalah x = 1 dan x = 3.

Langkah 3: Uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis.
Titik kritis x=1 dan x=3 membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, 1), (1, 3), dan (3, ∞).

Kita perlu menguji tanda f'(x) di setiap interval:

*   Interval (-∞, 1): Pilih x = 0.
f'(0) = 3(0)² - 12(0) + 9 = 9. Karena f'(0) > 0, fungsi naik pada interval ini.

*   Interval (1, 3): Pilih x = 2.
f'(2) = 3(2)² - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3. Karena f'(2) < 0, fungsi turun pada interval ini.

*   Interval (3, ∞): Pilih x = 4.
f'(4) = 3(4)² - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9. Karena f'(4) > 0, fungsi naik pada interval ini.

Fungsi turun ketika f'(x) < 0, yaitu pada interval (1, 3).

Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi f(x)=x³-6x²+9x+2 selalu turun adalah 1 < x < 3.