Isian Singkat. Isilah titik-titik pada nomor 6 - 9 sehingga

6. Translasi tunggal, 7. Bayangan segitiga kongruen, 8. [[0, 1], [-1, 0]] (rotasi 270 berlawanan arah jarum jam), 9. [[0, -1], [-1, 0]] (rotasi 90 lalu cermin sumbu X)

Pembahasan

Berikut adalah jawaban untuk isian singkat mengenai transformasi geometri:

6. Komposisi dari dua buah translasi adalah sebuah translasi tunggal.
Penjelasan: Jika translasi pertama diwakili oleh vektor \( \vec{u} \) dan translasi kedua oleh vektor \( \vec{v} \), maka komposisi keduanya adalah translasi tunggal yang diwakili oleh vektor \( \vec{u} + \vec{v} \).

7. Sebuah segitiga jika dicerminkan terhadap sumbu Y akan menjadi bayangan segitiga yang kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan segitiga aslinya, tetapi terletak pada sisi berlawanan dari sumbu Y.
Penjelasan: Pencerminan terhadap sumbu Y mengubah koordinat (x, y) menjadi (-x, y). Posisi relatif titik-titik pada segitiga tetap terjaga, sehingga bentuk dan ukurannya tidak berubah.

8. Matriks yang terkait dengan rotasi sebesar 270° searah jarum jam (atau 90° berlawanan arah jarum jam) terhadap titik pusat adalah \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\).
Penjelasan: Matriks rotasi umum untuk sudut \(\theta \) berlawanan arah jarum jam adalah \(\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\). Untuk \(\theta = 90°\) (atau 270° searah jarum jam), \(\cos 90° = 0\) dan \(\sin 90° = 1\), sehingga matriksnya adalah \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Jika rotasi 270° searah jarum jam, maka \(\theta = -270° \equiv 90°\) berlawanan arah jarum jam, atau kita bisa gunakan \(\theta = 270°\) searah jarum jam \(\cos(-270°) = \cos(90°) = 0\) dan \(\sin(-270°) = \sin(90°) = 1\) atau \(\cos(270°) = 0\) dan \(\sin(270°) = -1\). Jika rotasi 270 derajat searah jarum jam, maka kita dapat menganggapnya sebagai rotasi -270 derajat berlawanan arah jarum jam. cos(-270) = 0, sin(-270) = 1. Namun, jika yang dimaksud adalah 270 derajat berlawanan arah jarum jam, maka matriksnya adalah \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Jika yang dimaksud adalah 270 derajat searah jarum jam, maka \(\theta = -270°\) atau \(\theta = 270°\) searah jarum jam. Sudut 270 derajat searah jarum jam sama dengan 90 derajat berlawanan arah jarum jam. Maka cos(90) = 0, sin(90) = 1. Matriks rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar \(\theta\) adalah \(\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\). Untuk \(\theta = 270°\), cos(270°) = 0, sin(270°) = -1. Maka matriksnya adalah \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). Jawaban ini mengasumsikan rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam, atau rotasi 90 derajat searah jarum jam. *Koreksi:* Jika rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam, maka \(\cos(270°) = 0\) dan \(\sin(270°) = -1\), matriksnya adalah \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). Jika rotasi 270 derajat searah jarum jam, maka \(\cos(-270°) = 0\) dan \(\sin(-270°) = 1\), matriksnya adalah \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Jawaban yang diberikan \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) sesuai dengan rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam.

9. Matriks yang terkait dengan komposisi transformasi yang dimulai dengan rotasi sebesar 90° terhadap titik pusat dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X adalah \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
Penjelasan: Matriks rotasi 90° (berlawanan arah jarum jam) adalah \(R_{90} = \begin{pmatrix} \cos 90° & -\sin 90° \\ \sin 90° & \cos 90° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Matriks pencerminan terhadap sumbu X adalah \(M_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Komposisi transformasi (rotasi diikuti pencerminan) diwakili oleh perkalian matriks \(M_x \cdot R_{90}\): \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0)+(0)(1) & (1)(-1)+(0)(0) \\ (0)(0)+(-1)(1) & (0)(-1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). *Koreksi:* Urutan perkalian matriks penting. Jika rotasi diikuti pencerminan, maka matriks komposisinya adalah \(M_x R_{90}\). \(M_x R_{90} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). Jawaban yang diberikan \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) sepertinya keliru atau mengacu pada urutan komposisi yang berbeda atau matriks yang berbeda.