Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Isilah petak-petak (kotak) dengan bilangan bulat agar
Pertanyaan
Isilah petak-petak (kotak) dengan bilangan bulat agar kesamaan $x^3 = ext{kotak}(x-1)(x-2)(x-3) + ext{kotak}(x-1)(x-2) + ext{kotak}(x-1) + ext{kotak}$ benar.
Solusi
Verified
Bilangan bulatnya adalah 1, 6, 7, dan 1.
Pembahasan
Untuk mengisi petak-petak agar kesamaan $x^3 = \text{kotak}(x-1)(x-2)(x-3) + \text{kotak}(x-1)(x-2) + \text{kotak}(x-1) + \text{kotak}$ benar, kita perlu mencari koefisien polinomial yang sesuai. Pola ini mirip dengan ekspansi Newton atau representasi polinomial dalam basis faktorial jatuh (falling factorial). Misalkan $P(x) = x^3$. Kita ingin mengekspresikannya dalam bentuk: $x^3 = a \cdot (x-1)(x-2)(x-3) + b \cdot (x-1)(x-2) + c \cdot (x-1) + d$ Ini adalah polinomial dalam basis $(x-1)(x-2)(x-3)$, $(x-1)(x-2)$, $(x-1)$, dan $1$. Kita bisa menggunakan metode substitusi nilai x atau membandingkan koefisien. Metode Substitusi: Ambil $x=1$: $1^3 = a \cdot (0) + b \cdot (0) + c \cdot (0) + d \implies 1 = d$ Ambil $x=2$: $2^3 = a \cdot (0) + b \cdot (0) + c \cdot (2-1) + d \implies 8 = c \cdot 1 + d \implies 8 = c + 1 \implies c = 7$ Ambil $x=3$: $3^3 = a \cdot (0) + b \cdot (3-1)(3-2) + c \cdot (3-1) + d \implies 27 = b \cdot (2)(1) + c \cdot 2 + d \implies 27 = 2b + 2c + d \implies 27 = 2b + 2(7) + 1 \implies 27 = 2b + 14 + 1 \implies 27 = 2b + 15 \implies 12 = 2b \implies b = 6$ Ambil $x=4$: $4^3 = a \cdot (4-1)(4-2)(4-3) + b \cdot (4-1)(4-2) + c \cdot (4-1) + d \implies 64 = a \cdot (3)(2)(1) + b \cdot (3)(2) + c \cdot 3 + d \implies 64 = 6a + 6b + 3c + d \implies 64 = 6a + 6(6) + 3(7) + 1 \implies 64 = 6a + 36 + 21 + 1 \implies 64 = 6a + 58 \implies 6 = 6a \implies a = 1$ Jadi, petak-petak tersebut diisi dengan bilangan bulat: $a=1$, $b=6$, $c=7$, dan $d=1$. Kesamaan menjadi: $x^3 = 1 \cdot (x-1)(x-2)(x-3) + 6 \cdot (x-1)(x-2) + 7 \cdot (x-1) + 1$
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Polinomial
Section: Representasi Polinomial
Apakah jawaban ini membantu?