Jika f(x y)=f(x+y) dan f(7)=7 ,maka f(1008)=....

f(1008) = 7.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi f(x y) = f(x+y) dan diketahui bahwa f(7) = 7.
Kita perlu mencari nilai f(1008).

Hubungan f(xy) = f(x+y) menunjukkan bahwa nilai fungsi bergantung pada hasil kali argumennya, tetapi nilainya sama dengan fungsi dari jumlah argumennya. Ini adalah sifat yang tidak umum dan seringkali mengarah pada kesimpulan bahwa fungsi tersebut konstan atau memiliki pola tertentu.

Mari kita coba beberapa nilai:
Jika kita pilih x=1 dan y=7, maka:
f(1 * 7) = f(1 + 7)
f(7) = f(8)
Karena kita tahu f(7) = 7, maka f(8) = 7.

Jika kita pilih x=2 dan y=4, maka:
f(2 * 4) = f(2 + 4)
f(8) = f(6)
Karena f(8) = 7, maka f(6) = 7.

Jika kita pilih x=3 dan y=2, maka:
f(3 * 2) = f(3 + 2)
f(6) = f(5)
Karena f(6) = 7, maka f(5) = 7.

Dengan pola ini, tampaknya untuk setiap bilangan bulat positif, jika kita dapat mengekspresikannya sebagai hasil kali dari dua bilangan yang jumlahnya sudah diketahui nilainya, maka nilainya akan sama.

Perhatikan bahwa 1008 dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari 7 dengan bilangan lain:
1008 = 7 * 144

Menggunakan sifat f(xy) = f(x+y):
f(1008) = f(7 * 144) = f(7 + 144)
f(1008) = f(151)

Namun, informasi f(7)=7 dan f(xy)=f(x+y) tidak secara langsung memberi kita nilai f(151) atau bagaimana fungsi ini berperilaku pada nilai lain selain yang bisa diturunkan dari f(7).

Mari kita analisis sifat f(xy) = f(x+y) lebih lanjut. Jika kita menganggap bahwa ini berlaku untuk semua bilangan real positif, dan kita diberikan f(7)=7, kita bisa mencari cara lain untuk menghubungkan 1008 dengan 7.

1008 = 7 * 144
Jika kita set x=7 dan y=144, maka f(7 * 144) = f(7 + 144), yang berarti f(1008) = f(151).

Bagaimana jika kita fokus pada bagaimana kita bisa mendapatkan 1008 dari 7 menggunakan operasi perkalian dan penjumlahan?

Perhatikan sifat f(x*y) = f(x+y). Jika kita bisa menunjukkan bahwa f(n) = n untuk semua n, maka f(1008) = 1008. Namun, kita hanya diberi f(7)=7.

Mari kita coba dekomposisi 1008:
1008 = 2 * 504 = 2 * (2 * 252) = 2 * 2 * (2 * 126) = 2 * 2 * 2 * (2 * 63) = 16 * 63

Jika f(x) = konstan, misalnya f(x) = C, maka C = C, yang tidak membantu. Jika f(x) = x, maka x*y = x+y, yang hanya benar untuk kasus tertentu (misalnya jika x=2, y=2, maka 4=4).

Namun, jika kita melihat properti f(xy) = f(x+y), dan kita tahu f(7) = 7. Jika kita dapat menyatakan 1008 sebagai sebuah 'rantai' operasi yang dimulai dari 7, kita bisa menyelesaikannya.

Perhatikan bahwa 1008 adalah kelipatan dari 7: 1008 = 7 * 144.

Jika kita dapat membuktikan bahwa f(n*k) = f(n+k) untuk sembarang n,k, dan jika kita bisa menggunakan fakta f(7)=7.

Ada interpretasi lain yang mungkin: jika f(x) = c (konstanta) untuk semua x, maka f(7)=7 berarti c=7, sehingga f(1008)=7. Tapi apakah f(xy)=f(x+y) membatasi fungsi menjadi konstan jika f(7)=7?

Misalkan x=1. Maka f(y) = f(1+y). Ini berarti nilai fungsi sama untuk y dan y+1. Ini menyiratkan bahwa f(y) adalah fungsi konstan untuk semua y > 0.

Jika f(y) = f(y+1) untuk semua y, maka:
f(1) = f(2) = f(3) = ...

Karena f(7)=7, maka:
f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) = f(7) = 7.

Dan karena f(y) = f(y+1), maka:
f(7) = f(8) = f(9) = ... = f(1008).

Jadi, f(1008) = 7.

Penjelasan:
Dengan mengambil x=1 dalam persamaan f(xy) = f(x+y), kita mendapatkan f(1*y) = f(1+y), yang disederhanakan menjadi f(y) = f(y+1).
Properti f(y) = f(y+1) menunjukkan bahwa fungsi f bersifat periodik dengan periode 1, atau lebih tepatnya, nilainya konstan untuk semua argumen positif.
Karena kita diberi tahu bahwa f(7) = 7, dan fungsi tersebut konstan, maka nilai fungsi untuk argumen berapapun haruslah 7.
Oleh karena itu, f(1008) juga bernilai 7.