Jarak terdekat titik (4,0) terhadap kurva y=akar(x-1)

Jarak terdekat adalah (akar(11))/2.

Pembahasan

Untuk mencari jarak terdekat titik (4,0) terhadap kurva y=akar(x-1), kita perlu meminimalkan kuadrat jarak antara titik (4,0) dan sembarang titik (x, y) pada kurva. Jarak kuadrat D = (x-4)^2 + (y-0)^2.
Karena y = akar(x-1), maka y^2 = x-1, sehingga x = y^2+1. Substitusikan x ke dalam persamaan jarak kuadrat:
D = ((y^2+1)-4)^2 + y^2
D = (y^2-3)^2 + y^2
D = y^4 - 6y^2 + 9 + y^2
D = y^4 - 5y^2 + 9
Untuk mencari nilai minimum D, kita turunkan terhadap y dan samakan dengan nol:
dD/dy = 4y^3 - 10y = 0
2y(2y^2 - 5) = 0
Maka y = 0 atau 2y^2 = 5, yaitu y = ±akar(5/2).
Karena y = akar(x-1), maka y harus positif. Jadi, y = akar(5/2).
Sekarang kita cari x:
x = y^2+1 = (5/2)+1 = 7/2.
Jadi, titik terdekat pada kurva adalah (7/2, akar(5/2)).
Jarak terdekat adalah D = (7/2 - 4)^2 + (akar(5/2) - 0)^2
D = (-1/2)^2 + 5/2
D = 1/4 + 5/2
D = 1/4 + 10/4
D = 11/4
Jarak terdekat adalah akar(11/4) = (akar(11))/2.