Jika 0<=theta<=90, maka ((5 cos theta - 4)/(3 - 5 sin

0

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi ((5 cos theta - 4)/(3 - 5 sin theta) - (3+5 sin theta)/(4+5 cos theta)), kita perlu mencari KPK dari penyebutnya dan kemudian menyederhanakan.

Ekspresi yang diberikan adalah:
E = (5 cos θ - 4) / (3 - 5 sin θ) - (3 + 5 sin θ) / (4 + 5 cos θ)

Kita akan mengalikan kedua sisi dengan penyebut yang sama:
E = [(5 cos θ - 4)(4 + 5 cos θ) - (3 + 5 sin θ)(3 - 5 sin θ)] / [(3 - 5 sin θ)(4 + 5 cos θ)]

Mari kita hitung pembilangnya terlebih dahulu:
Pembilang = (5 cos θ - 4)(4 + 5 cos θ) - (3 + 5 sin θ)(3 - 5 sin θ)

Bagian pertama pembilang:
(5 cos θ - 4)(4 + 5 cos θ) = 20 cos θ + 25 cos^2 θ - 16 - 20 cos θ
= 25 cos^2 θ - 16

Bagian kedua pembilang (menggunakan selisih kuadrat, (a+b)(a-b) = a^2 - b^2):
(3 + 5 sin θ)(3 - 5 sin θ) = 3^2 - (5 sin θ)^2
= 9 - 25 sin^2 θ

Sekarang, substitusikan kembali ke pembilang:
Pembilang = (25 cos^2 θ - 16) - (9 - 25 sin^2 θ)
= 25 cos^2 θ - 16 - 9 + 25 sin^2 θ
= 25 cos^2 θ + 25 sin^2 θ - 25

Kita tahu identitas trigonometri dasar: cos^2 θ + sin^2 θ = 1.
Jadi, 25 cos^2 θ + 25 sin^2 θ = 25(cos^2 θ + sin^2 θ) = 25(1) = 25.

Pembilang = 25 - 25
= 0

Karena pembilangnya adalah 0, maka keseluruhan ekspresi adalah 0, asalkan penyebutnya tidak nol.

Penyebut = (3 - 5 sin θ)(4 + 5 cos θ)

Agar ekspresi terdefinisi, penyebut tidak boleh nol. Nilai sin θ dan cos θ berkisar antara -1 dan 1. Jadi, 3 - 5 sin θ tidak akan pernah nol (karena nilai minimumnya adalah 3 - 5(-1) = 8, dan nilai maksimumnya adalah 3 - 5(1) = -2, tetapi kita perlu memeriksa lebih hati-hati. Jika sin θ = 3/5, maka 3 - 5 sin θ = 0. Jika cos θ = -4/5, maka 4 + 5 cos θ = 0. Namun, kita perlu memeriksa apakah kedua kondisi ini dapat terjadi bersamaan untuk nilai θ yang sama. Dengan menggunakan identitas sin^2 θ + cos^2 θ = 1, jika sin θ = 3/5, maka cos^2 θ = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25, sehingga cos θ = ±4/5. Jika cos θ = -4/5, maka salah satu penyebutnya menjadi nol. Namun, untuk nilai θ di mana penyebut tidak nol, hasil penyederhanaan pembilang adalah 0.

Dengan asumsi bahwa ekspresi terdefinisi (penyebut tidak nol), hasil penyederhanaannya adalah 0.

Kesimpulan:
Ekspresi ((5 cos theta - 4)/(3 - 5 sin theta) - (3+5 sin theta)/(4+5 cos theta)) menyederhanakan menjadi 0.