Jika (1 - tan^2(x/2^2017))(1 - tan^2(x/2^2016)) ... (1 -

1/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cos(2x), kita perlu menyederhanakan persamaan yang diberikan terlebih dahulu.
Persamaan: $(1 - \tan^2(\frac{x}{2^{2017}}))(1 - \tan^2(\frac{x}{2^{2016}})) ... (1 - \tan^2(\frac{x}{2})) = 2^{2017}\sqrt{3} \tan(\frac{x}{2^{2017}})$.

Perhatikan identitas trigonometri: $1 - \tan^2(\theta) = \frac{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \frac{\cos(2\theta)}{\cos^2(\theta)}$.
Juga, kita tahu bahwa $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$, sehingga $1 - \tan^2(\theta) = \frac{2 \tan(\theta)}{\tan(2\theta)}$.

Menggunakan identitas kedua, persamaan menjadi:
$(\frac{2 \tan(\frac{x}{2^{2017}})}{\tan(\frac{x}{2^{2016}})}) (\frac{2 \tan(\frac{x}{2^{2016}})}{\tan(\frac{x}{2^{2015}})}) ... (\frac{2 \tan(\frac{x}{2})}{ \tan(x)}) = 2^{2017}\sqrt{3} \tan(\frac{x}{2^{2017}})$.

Banyak suku yang saling menghilangkan (telescoping product):
$rac{2^{2017} \tan(\frac{x}{2^{2017}})}{\tan(x)} = 2^{2017}\sqrt{3} \tan(\frac{x}{2^{2017}})$.

Dengan asumsi $\tan(\frac{x}{2^{2017}}) \neq 0$, kita dapat membagi kedua sisi dengan $2^{2017} \tan(\frac{x}{2^{2017}})$:
$rac{1}{\tan(x)} = \sqrt{3}$.
$\cot(x) = \sqrt{3}$.

Ini berarti $x = \frac{\pi}{6} + n\pi$ untuk bilangan bulat $n$.

Kita perlu mencari nilai $\cos(2x)$.
$\,\cos(2x) = \cos(2(\frac{\pi}{6} + n\pi)) = \cos(\frac{\pi}{3} + 2n\pi) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Jadi, nilai $\cos(2x) = \frac{1}{2}$.