Jika 2log akar(x^2-16) maka xlog2=... (UMPTN 2001)

Soal tidak lengkap atau perlu klarifikasi.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan nilai \( x \log 2 \) jika \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \).
Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan yang diberikan: \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \).
Kita bisa menulis ulang akar kuadrat sebagai pangkat \( 1/2 \):
\( 2 	extrm{log} (x^2-16)^{1/2} \)

Menggunakan sifat logaritma \( 	extrm{log } a^b = b 	extrm{ log } a \), kita dapat menurunkan pangkatnya:
\( 2 \cdot \frac{1}{2} 	extrm{ log } (x^2-16) \)
\( = 	extrm{ log } (x^2-16) \)

Namun, soal ini tampaknya tidak lengkap atau ada kesalahan penulisan, karena persamaan \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \) tidak memberikan nilai spesifik untuk \( x \) atau hubungan yang dapat digunakan untuk menemukan \( x 	extrm{log} 2 \).

Jika kita mengasumsikan bahwa \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \) adalah sebuah persamaan yang harus diselesaikan, misalnya \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} = k \) untuk suatu konstanta \( k \), atau ada informasi lain yang hilang.

Jika maksud soal adalah menyederhanakan \( x 	extrm{log} 2 \) berdasarkan informasi \( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \), kita memerlukan sebuah persamaan.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin maksudnya adalah jika \( \log_2 \sqrt{x^2-16} = N \) untuk suatu nilai \( N \).
Jika kita mengasumsikan \( \log_2 (x^2-16)^{1/2} = 1 \) (sebagai contoh sederhana).
Maka \( \frac{1}{2} \log_2 (x^2-16) = 1 \).
\( \log_2 (x^2-16) = 2 \).
\( x^2-16 = 2^2 \).
\( x^2-16 = 4 \).
\( x^2 = 20 \).
\( x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

Maka \( x 	extrm{log} 2 \) akan menjadi \( 2\sqrt{5} 	extrm{log} 2 \), yang juga tidak memberikan jawaban sederhana.

Kemungkinan lain, ada hubungan langsung antara \( 2 	extrm{log} 	extrm{...} \) dan \( x 	extrm{log} 2 \) yang tidak terlihat.

Jika kita menganggap basis logaritma adalah 10 (logaritma umum):
\( 2 	extrm{log} \sqrt{x^2-16} \)
\( = 2 	extrm{log} (x^2-16)^{1/2} \)
\( = 2 \cdot \frac{1}{2} 	extrm{log} (x^2-16) \)
\( = 	extrm{log} (x^2-16) \)

Jika soal ini berasal dari UMPTN 2001, biasanya ada konteks atau bentuk soal yang standar. Tanpa informasi lebih lanjut atau klarifikasi, sulit untuk memberikan jawaban pasti.

Namun, jika kita mengasumsikan soal tersebut adalah sebuah identitas atau hubungan yang perlu dicari nilai \( x \) agar \( x 	extrm{log} 2 \) dapat ditentukan, dan seringkali dalam soal semacam ini, basis logaritma di kedua sisi sama atau ada hubungan.

Jika kita mengasumsikan bahwa \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(x^2-16) \) adalah sebuah ekspresi yang nilainya harus dicari, atau ada kesamaan implisit.

Jika kita anggap \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(x^2-16) \) adalah sebuah persamaan yang hasilnya adalah nilai tertentu yang memungkinkan kita menemukan \( x \).

Mari kita pertimbangkan jika soalnya adalah: \( \textrm{Jika } \log_2 \sqrt{x^2-16} = \dots \) atau \( \textrm{Jika } 2 \log \sqrt{x^2-16} = \dots \).

Tanpa bentuk persamaan yang jelas, kita tidak bisa menemukan nilai \( x \) untuk kemudian menghitung \( x 	extrm{log} 2 \).

Jika kita menganggap bahwa \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(x^2-16) \) menyiratkan sebuah nilai yang membuat \( x 	extrm{log} 2 \) menjadi sederhana, contohnya jika \( x=2 \) atau \( x=4 \) atau \( x=8 \).

Jika \( x=2 \), maka \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(4-16) \) tidak terdefinisi (akar dari bilangan negatif).
Jika \( x=4 \), maka \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(16-16) = 2 	extrm{log} 0 \) tidak terdefinisi.
Jika \( x=5 \), maka \( 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(25-16) = 2 	extrm{log} 	extrm{akar}(9) = 2 	extrm{log} 3 \).
Jika \( x=5 \), maka \( x 	extrm{log} 2 = 5 	extrm{log} 2 \).

Ada kemungkinan soalnya adalah \( \textrm{Jika } \log_2 (x^2-16) = 4 \), maka \( x 	extrm{log} 2 \) adalah ...
\( x^2-16 = 2^4 = 16 \)
\( x^2 = 32 \)
\( x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
Maka \( x 	extrm{log} 2 = 4\sqrt{2} 	extrm{log} 2 \).

Karena tidak ada informasi yang cukup untuk menyelesaikan soal ini, saya tidak dapat memberikan jawaban yang pasti. Soal ini perlu diklarifikasi.