Jika 2log3=a dan 3log5=b, tentukan nilai dari 15log20.

$\frac{2+ab}{a+ab}$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $15 	ext{log } 20$ dengan diketahui $^2	ext{log } 3 = a$ dan $^3	ext{log } 5 = b$, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma.

Pertama, kita ubah basis logaritma agar konsisten. Kita akan gunakan logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log) sebagai basis umum, atau kita bisa menggunakan basis 2 atau 3 sesuai informasi yang diberikan.

Kita punya $^2	ext{log } 3 = a$ dan $^3	ext{log } 5 = b$.

Dari $^2	ext{log } 3 = a$, kita bisa tulis $3 = 2^a$.
Dari $^3	ext{log } 5 = b$, kita bisa tulis $5 = 3^b$.

Sekarang kita substitusikan $3 = 2^a$ ke dalam persamaan $5 = 3^b$:
$5 = (2^a)^b$
$5 = 2^{ab}$

Kita ingin mencari $15 	ext{log } 20$. Pertama, kita faktorkan angka 15 dan 20:
$15 = 3 	imes 5$
$20 = 4 	imes 5 = 2^2 	imes 5$

Menggunakan sifat logaritma $^c	ext{log } (xy) = {}^c	ext{log } x + {}^c	ext{log } y$ dan $^c	ext{log } (x^k) = k 	imes {}^c	ext{log } x$:
$15 	ext{log } 20 = {}^{2}	ext{log } (3 	imes 5)^{20}$ (Ini salah, harusnya $15 	ext{log } 20$, bukan $15^{20}$) 
Mari kita gunakan properti perubahan basis: $^m	ext{log } n = rac{^p	ext{log } n}{^p	ext{log } m}$. Kita akan gunakan basis 2.

$15 	ext{log } 20 = rac{^2	ext{log } 20}{^2	ext{log } 15}$

Sekarang kita uraikan $^2	ext{log } 20$ dan $^2	ext{log } 15$:
$^2	ext{log } 20 = ^2	ext{log } (4 	imes 5) = ^2	ext{log } (2^2 	imes 5) = ^2	ext{log } 2^2 + ^2	ext{log } 5$
$^2	ext{log } 20 = 2 	imes ^2	ext{log } 2 + ^2	ext{log } 5$
$^2	ext{log } 20 = 2 	imes 1 + ^2	ext{log } 5$
$^2	ext{log } 20 = 2 + ^2	ext{log } 5$

Kita tahu bahwa $5 = 2^{ab}$, jadi $^2	ext{log } 5 = ab$.
Jadi, $^2	ext{log } 20 = 2 + ab$.

Sekarang untuk penyebut:
$^2	ext{log } 15 = ^2	ext{log } (3 	imes 5) = ^2	ext{log } 3 + ^2	ext{log } 5$
Kita tahu bahwa $^2	ext{log } 3 = a$ dan $^2	ext{log } 5 = ab$.
Jadi, $^2	ext{log } 15 = a + ab$.

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam rumus $15 	ext{log } 20$:
$15 	ext{log } 20 = rac{2 + ab}{a + ab}$

Jadi, nilai dari $15 	ext{log } 20$ adalah $\frac{2 + ab}{a + ab}$.