Kelas 10mathLogaritma
Jika 2log3=a dan 3log5=b, tentukan nilai dari 15log20.
Pertanyaan
Jika $^2 ext{log } 3 = a$ dan $^3 ext{log } 5 = b$, tentukan nilai dari $15 ext{log } 20$.
Solusi
Verified
$\frac{2+ab}{a+ab}$
Pembahasan
Untuk menentukan nilai dari $15 ext{log } 20$ dengan diketahui $^2 ext{log } 3 = a$ dan $^3 ext{log } 5 = b$, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma. Pertama, kita ubah basis logaritma agar konsisten. Kita akan gunakan logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log) sebagai basis umum, atau kita bisa menggunakan basis 2 atau 3 sesuai informasi yang diberikan. Kita punya $^2 ext{log } 3 = a$ dan $^3 ext{log } 5 = b$. Dari $^2 ext{log } 3 = a$, kita bisa tulis $3 = 2^a$. Dari $^3 ext{log } 5 = b$, kita bisa tulis $5 = 3^b$. Sekarang kita substitusikan $3 = 2^a$ ke dalam persamaan $5 = 3^b$: $5 = (2^a)^b$ $5 = 2^{ab}$ Kita ingin mencari $15 ext{log } 20$. Pertama, kita faktorkan angka 15 dan 20: $15 = 3 imes 5$ $20 = 4 imes 5 = 2^2 imes 5$ Menggunakan sifat logaritma $^c ext{log } (xy) = {}^c ext{log } x + {}^c ext{log } y$ dan $^c ext{log } (x^k) = k imes {}^c ext{log } x$: $15 ext{log } 20 = {}^{2} ext{log } (3 imes 5)^{20}$ (Ini salah, harusnya $15 ext{log } 20$, bukan $15^{20}$) Mari kita gunakan properti perubahan basis: $^m ext{log } n = rac{^p ext{log } n}{^p ext{log } m}$. Kita akan gunakan basis 2. $15 ext{log } 20 = rac{^2 ext{log } 20}{^2 ext{log } 15}$ Sekarang kita uraikan $^2 ext{log } 20$ dan $^2 ext{log } 15$: $^2 ext{log } 20 = ^2 ext{log } (4 imes 5) = ^2 ext{log } (2^2 imes 5) = ^2 ext{log } 2^2 + ^2 ext{log } 5$ $^2 ext{log } 20 = 2 imes ^2 ext{log } 2 + ^2 ext{log } 5$ $^2 ext{log } 20 = 2 imes 1 + ^2 ext{log } 5$ $^2 ext{log } 20 = 2 + ^2 ext{log } 5$ Kita tahu bahwa $5 = 2^{ab}$, jadi $^2 ext{log } 5 = ab$. Jadi, $^2 ext{log } 20 = 2 + ab$. Sekarang untuk penyebut: $^2 ext{log } 15 = ^2 ext{log } (3 imes 5) = ^2 ext{log } 3 + ^2 ext{log } 5$ Kita tahu bahwa $^2 ext{log } 3 = a$ dan $^2 ext{log } 5 = ab$. Jadi, $^2 ext{log } 15 = a + ab$. Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam rumus $15 ext{log } 20$: $15 ext{log } 20 = rac{2 + ab}{a + ab}$ Jadi, nilai dari $15 ext{log } 20$ adalah $\frac{2 + ab}{a + ab}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Sifat Sifat Logaritma
Section: Perubahan Basis Logaritma
Apakah jawaban ini membantu?