Jika 3x^2 + 6x + 2 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. maka

Nilai dari (x1² - x2²) + x1² + x2² adalah (8 - 4√3)/3.

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat 3x² + 6x + 2 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. 
Menurut Vieta, untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, berlaku:
Jumlah akar: x1 + x2 = -b/a
Perkalian akar: x1 * x2 = c/a

Dalam kasus ini, a = 3, b = 6, c = 2.
Maka,
x1 + x2 = -6/3 = -2
x1 * x2 = 2/3

Kita perlu mencari nilai dari (x1² - x2²) + (x1² + x2²).
Pertama, mari kita hitung x1² + x2²:
x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2*x1*x2
x1² + x2² = (-2)² - 2*(2/3)
x1² + x2² = 4 - 4/3
x1² + x2² = 12/3 - 4/3 = 8/3

Selanjutnya, mari kita hitung x1² - x2²:
x1² - x2² = (x1 - x2)(x1 + x2)
Untuk mencari (x1 - x2), kita bisa menggunakan rumus:
(x1 - x2)² = (x1 + x2)² - 4*x1*x2
(x1 - x2)² = (-2)² - 4*(2/3)
(x1 - x2)² = 4 - 8/3
(x1 - x2)² = 12/3 - 8/3 = 4/3
Karena kita hanya membutuhkan (x1 - x2) untuk dikalikan dengan (x1 + x2), kita bisa langsung menggunakan nilai kuadratnya, atau mengambil akar positif/negatif tergantung konteks, namun karena akan dikalikan dengan (x1+x2), hasil akhirnya akan tetap sama jika kita memasukkan akar.
Namun, lebih mudahnya kita perhatikan bahwa x1² - x2² = (x1 + x2)(x1 - x2). 
Kita sudah punya x1 + x2 = -2. Dan (x1-x2)^2 = 4/3, sehingga x1-x2 = +/- 2/√3 = +/- 2√3/3.
Maka x1² - x2² = (-2) * (+/- 2√3/3) = -/+ 4√3/3.

Jadi, nilai dari (x1² - x2²) + (x1² + x2²) adalah:
(+/- 4√3/3) + 8/3.

Ada kemungkinan soal ini dimaksudkan untuk mencari nilai dari (x1 - x2)² + (x1 + x2)². Mari kita hitung jika itu maksudnya:
(x1 - x2)² + (x1 + x2)² = 4/3 + (-2)² = 4/3 + 4 = 4/3 + 12/3 = 16/3.

Mari kita coba hitung dengan cara lain untuk x1² - x2²:
Misal x1 = (-b + sqrt(D))/2a dan x2 = (-b - sqrt(D))/2a, dimana D = b² - 4ac.
D = 6² - 4*3*2 = 36 - 24 = 12.
sqrt(D) = sqrt(12) = 2√3.
x1 = (-6 + 2√3)/6 = -1 + √3/3
x2 = (-6 - 2√3)/6 = -1 - √3/3

x1² = (-1 + √3/3)² = 1 - 2√3/3 + 3/9 = 1 - 2√3/3 + 1/3 = 4/3 - 2√3/3
x2² = (-1 - √3/3)² = 1 + 2√3/3 + 3/9 = 1 + 2√3/3 + 1/3 = 4/3 + 2√3/3

x1² - x2² = (4/3 - 2√3/3) - (4/3 + 2√3/3) = -4√3/3.

x1² + x2² = (4/3 - 2√3/3) + (4/3 + 2√3/3) = 8/3.

Maka, (x1² - x2²) + (x1² + x2²) = (-4√3/3) + (8/3) = (8 - 4√3)/3.

Jika soalnya adalah nilai dari (x1 - x2)² + (x1² + x2²), maka:
(x1 - x2)² = 4/3
(x1² + x2²) = 8/3
Jumlahnya = 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Kemungkinan besar ada kesalahan ketik pada soal, dan yang dimaksud adalah mencari nilai dari (x1 - x2)² + (x1 + x2)² atau bahkan hanya x1² + x2².
Namun, jika kita mengikuti persis soalnya: (x1² - x2²) + x1² + x2² = 2x1².
Dengan x1 = -1 + √3/3, maka 2x1² = 2 * (4/3 - 2√3/3) = 8/3 - 4√3/3 = (8 - 4√3)/3.

Jika maksudnya adalah: (x1^2 + x2^2) - (x1^2 - x2^2) = 2x2^2
2x2^2 = 2 * (4/3 + 2√3/3) = 8/3 + 4√3/3 = (8 + 4√3)/3.

Jika maksudnya adalah: x1² + x2² + (x1² - x2²) = 2x1². Nilai 2x1² = 2 * (4/3 - 2√3/3) = 8/3 - 4√3/3.

Jika maksudnya adalah: (x1 + x2)² + (x1 * x2) = (-2)² + 2/3 = 4 + 2/3 = 14/3.

Mengikuti persis soal yang tertulis: (x1² - x2²) + x1² + x2² = 2x1²
Kita sudah hitung x1² = 4/3 - 2√3/3.
Maka 2x1² = 2(4/3 - 2√3/3) = 8/3 - 4√3/3.

Mari kita asumsikan maksud soal adalah mencari nilai dari (x1+x2)^2 + x1*x2.
(x1+x2)^2 = (-2)^2 = 4.
x1*x2 = 2/3.
4 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Jika maksud soal adalah nilai dari (x1^2 + x2^2) + (x1*x2).
x1^2 + x2^2 = 8/3.
x1*x2 = 2/3.
8/3 + 2/3 = 10/3.

Jika maksudnya adalah nilai dari (x1^2 + x2^2) + x1*x2 dengan rumus akar:
(x1 + x2)² - 2x1x2 + x1x2 = (x1+x2)² - x1x2 = (-2)² - 2/3 = 4 - 2/3 = 10/3.

Jika maksudnya adalah (x1^2 - x2^2) + (x1^2 + x2^2) = 2x1^2. Maka jawabannya adalah (8-4√3)/3.
Jika maksudnya adalah (x1+x2)^2 + (x1-x2)^2. Maka jawabannya adalah (-2)^2 + 4/3 = 4 + 4/3 = 16/3.

Mengikuti soal secara harfiah: (x1^2 - x2^2) + x1^2 + x2^2 = 2x1^2.
Nilai x1 = -1 + √3/3.
x1^2 = (-1 + √3/3)^2 = 1 - 2√3/3 + 3/9 = 1 - 2√3/3 + 1/3 = 4/3 - 2√3/3.
2x1^2 = 2 * (4/3 - 2√3/3) = 8/3 - 4√3/3 = (8 - 4√3)/3.
Karena opsi jawaban tidak tersedia, dan soalnya ambigu, kita berikan hasil berdasarkan interpretasi paling harfiah.