Jika 4^(x)+4^(-x)=7 , maka nilai 8^(x)+8^(-x)=... a. 14 d.

18

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat eksponen dan aljabar.
Diketahui: $4^x + 4^{-x} = 7$
Kita ingin mencari nilai dari $8^x + 8^{-x}$.
Perhatikan bahwa $8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$ dan $8^{-x} = (2^3)^{-x} = (2^{-x})^3$.
Selain itu, $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ dan $4^{-x} = (2^2)^{-x} = (2^{-x})^2$.
Misalkan $a = 2^x$, maka persamaan yang diketahui menjadi $a^2 + a^{-2} = 7$.
Kita ingin mencari nilai dari $a^3 + a^{-3}$.
Kita tahu bahwa $(a + a^{-1})^2 = a^2 + 2 	imes a 	imes a^{-1} + a^{-2} = a^2 + a^{-2} + 2$.
Jadi, $(a + a^{-1})^2 = 7 + 2 = 9$, sehingga $a + a^{-1} = \pm 3$.
Karena $a = 2^x$ selalu positif, maka $a + a^{-1}$ juga harus positif. Jadi, $a + a^{-1} = 3$.
Sekarang kita dapat mencari nilai $a^3 + a^{-3}$ menggunakan identitas $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ atau $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Menggunakan identitas kedua:
$(a + a^{-1})^3 = a^3 + a^{-3} + 3 	imes a 	imes a^{-1} (a + a^{-1})$
$(3)^3 = a^3 + a^{-3} + 3 	imes 1 	imes (3)$
$27 = a^3 + a^{-3} + 9$
$a^3 + a^{-3} = 27 - 9 = 18$.
Jadi, nilai $8^x + 8^{-x}$ adalah 18.
Jawaban yang benar adalah b. 18.