Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang

Petani harus menggunakan 3 kg pupuk P dan 18 kg pupuk Q untuk meminimalkan biaya.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persoalan petani ini, kita akan menggunakan konsep pemrograman linear untuk meminimalkan biaya produksi.

Definisikan variabel:
Jumlah pupuk P yang digunakan = x kg
Jumlah pupuk Q yang digunakan = y kg

Fungsi tujuan (yang ingin diminimalkan): Biaya total
Biaya = 8000x + 6000y

Kendala (batasan):
Kebutuhan unsur U: 3x + 1y >= 27
Kebutuhan unsur V: 1x + 1y >= 21
Kebutuhan unsur W: 1x + 2y >= 30

Selain itu, jumlah pupuk tidak boleh negatif:
x >= 0
y >= 0

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi semua kendala dan meminimalkan fungsi biaya.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Menggambar daerah yang memenuhi kendala (feasible region).
2. Mencari titik-titik sudut (corner points) dari daerah tersebut.
3. Mengevaluasi fungsi biaya pada setiap titik sudut.
4. Titik sudut yang memberikan biaya terendah adalah solusi optimal.

Mari kita cari titik potong antar kendala:

a) 3x + y = 27
   x + y = 21
   ---------------- (kurangkan persamaan)
     2x = 6  => x = 3
   Jika x = 3, maka 3 + y = 21 => y = 18
   Titik potong: (3, 18)

b) x + y = 21
   x + 2y = 30
   ---------------- (kurangkan persamaan)
     -y = -9  => y = 9
   Jika y = 9, maka x + 9 = 21 => x = 12
   Titik potong: (12, 9)

c) 3x + y = 27
   x + 2y = 30
   Kalikan persamaan pertama dengan 2: 6x + 2y = 54
   Kurangkan persamaan kedua: (6x + 2y) - (x + 2y) = 54 - 30
     5x = 24 => x = 4.8
   Jika x = 4.8, maka 4.8 + 2y = 30 => 2y = 25.2 => y = 12.6
   Titik potong: (4.8, 12.6)

Titik sudut yang mungkin adalah perpotongan garis kendala dengan sumbu x dan y, serta perpotongan antar garis kendala.
Perlu diperiksa apakah titik-titik ini memenuhi semua kendala.

Titik (3, 18):
U: 3(3) + 18 = 9 + 18 = 27 (memenuhi)
V: 3 + 18 = 21 (memenuhi)
W: 3 + 2(18) = 3 + 36 = 39 >= 30 (memenuhi)
Biaya = 8000(3) + 6000(18) = 24000 + 108000 = 132000

Titik (12, 9):
U: 3(12) + 9 = 36 + 9 = 45 >= 27 (memenuhi)
V: 12 + 9 = 21 (memenuhi)
W: 12 + 2(9) = 12 + 18 = 30 (memenuhi)
Biaya = 8000(12) + 6000(9) = 96000 + 54000 = 150000

Titik (4.8, 12.6):
U: 3(4.8) + 12.6 = 14.4 + 12.6 = 27 (memenuhi)
V: 4.8 + 12.6 = 17.4 < 21 (TIDAK MEMENUHI)
Jadi, titik (4.8, 12.6) bukan solusi yang layak.

Kita perlu mencari titik potong lain jika ada, atau titik pada sumbu jika relevan.
Perhatikan bahwa kita hanya perlu mempertimbangkan titik-titik yang memenuhi SEMUA kendala.
Karena titik (4.8, 12.6) tidak memenuhi kendala V, kita perlu memeriksa titik lain.

Perpotongan dengan sumbu:
Jika x=0:
   y >= 27
   y >= 21
   2y >= 30 => y >= 15
   Titik terendah adalah y=27, yaitu (0, 27). Biaya = 6000*27 = 162000
Jika y=0:
   3x >= 27 => x >= 9
   x >= 21
   x >= 30
   Titik terendah adalah x=30, yaitu (30, 0). Biaya = 8000*30 = 240000

Titik layak yang perlu dievaluasi adalah titik-titik sudut dari daerah yang dibatasi oleh:
3x + y = 27
x + y = 21
x + 2y = 30
x >= 0, y >= 0

Kita sudah punya titik layak (3, 18) dengan biaya 132000 dan (12, 9) dengan biaya 150000.
Mari kita cek titik potong lain yang mungkin terjadi pada batas daerah layak:

Perpotongan antara x + y = 21 dan sumbu x (y=0) adalah (21, 0). Cek kendala lain:
U: 3(21) = 63 >= 27 (OK)
W: 21 >= 30 (TIDAK OK)

Perpotongan antara x + y = 21 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 21). Cek kendala lain:
U: 21 >= 27 (TIDAK OK)

Perpotongan antara 3x + y = 27 dan sumbu x (y=0) adalah (9, 0). Cek kendala lain:
V: 9 >= 21 (TIDAK OK)

Perpotongan antara 3x + y = 27 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 27). Cek kendala lain:
V: 27 >= 21 (OK)
W: 2(27) = 54 >= 30 (OK)
Titik (0, 27). Biaya = 8000(0) + 6000(27) = 162000

Perpotongan antara x + 2y = 30 dan sumbu x (y=0) adalah (30, 0). Cek kendala lain:
U: 3(30) = 90 >= 27 (OK)
V: 30 >= 21 (OK)
Titik (30, 0). Biaya = 8000(30) + 6000(0) = 240000

Perpotongan antara x + 2y = 30 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 15). Cek kendala lain:
U: 15 >= 27 (TIDAK OK)

Jadi, titik-titik sudut yang layak adalah:
1. (3, 18) -> Biaya = Rp 132.000,00
2. (12, 9) -> Biaya = Rp 150.000,00
3. (0, 27) -> Biaya = Rp 162.000,00
4. (30, 0) -> Biaya = Rp 240.000,00

Membandingkan biaya dari titik-titik sudut yang layak, biaya terendah adalah Rp 132.000,00 yang diperoleh ketika petani menggunakan 3 kg pupuk P dan 18 kg pupuk Q.

Solusi petani tersebut adalah menggunakan 3 kg pupuk jenis P dan 18 kg pupuk jenis Q untuk mengeluarkan uang seminimal mungkin.