Jika A=(-1 2a+b 1 7), B=(4 3 1 a), dan (AB)^T=(1 11 7 17),

det(A) = -12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan perkalian matriks A dan B, kemudian mentranspose hasilnya, dan terakhir mencari determinan dari matriks A.

Diketahui:
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2a+b \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & a \end{pmatrix}$
$(AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 7 & 17 \end{pmatrix}$

Kita tahu bahwa $(AB)^T = B^T A^T$. Namun, lebih mudah untuk mencari AB terlebih dahulu, lalu mentransposenya.

$AB = \begin{pmatrix} -1 & 2a+b \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 1 & a \end{pmatrix}$
$AB = \begin{pmatrix} (-1)(4) + (2a+b)(1) & (-1)(3) + (2a+b)(a) \\ (1)(4) + (7)(1) & (1)(3) + (7)(a) \end{pmatrix}$
$AB = \begin{pmatrix} -4 + 2a + b & -3 + 2a^2 + ab \\ 4 + 7 & 3 + 7a \end{pmatrix}$
$AB = \begin{pmatrix} -4 + 2a + b & -3 + 2a^2 + ab \\ 11 & 3 + 7a \end{pmatrix}$

Sekarang, kita transpose matriks AB:
$(AB)^T = \begin{pmatrix} -4 + 2a + b & 11 \\ -3 + 2a^2 + ab & 3 + 7a \end{pmatrix}$

Kita samakan dengan $(AB)^T$ yang diberikan:
$(AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 7 & 17 \end{pmatrix}$

Dari kesamaan elemen matriks, kita dapatkan:
1.  $-4 + 2a + b = 1 
    2a + b = 5 
    b = 5 - 2a$  (Persamaan 1)

2.  $3 + 7a = 17 
    7a = 14 
    a = 2$

Sekarang kita substitusikan nilai $a=2$ ke Persamaan 1 untuk mencari nilai b:
$b = 5 - 2(2)
 b = 5 - 4
 b = 1$

Sekarang kita memiliki nilai $a=2$ dan $b=1$. Kita perlu mencari determinan dari matriks A.
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2a+b \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2(2)+1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

Determinan dari matriks A (det(A)) dihitung sebagai:
det(A) = (elemen baris 1 kolom 1 × elemen baris 2 kolom 2) - (elemen baris 1 kolom 2 × elemen baris 2 kolom 1)
det(A) = (-1)(7) - (5)(1)
det(A) = -7 - 5
det(A) = -12