Jika a=(2 1 x) dan b=(-1 3 -2) serta sudut antara a dan b

18

Pembahasan

Diketahui vektor a = (2, 1, x) dan vektor b = (-1, 3, -2). Sudut antara a dan b adalah -π/3.

Rumus dot product (perkalian titik) antara dua vektor adalah:
a · b = |a| |b| cos θ

Hitung dot product a · b:
a · b = (2)(-1) + (1)(3) + (x)(-2)
a · b = -2 + 3 - 2x
a · b = 1 - 2x

Hitung panjang vektor |a|:
|a| = sqrt(2^2 + 1^2 + x^2)
|a| = sqrt(4 + 1 + x^2)
|a| = sqrt(5 + x^2)

Hitung panjang vektor |b|:
|b| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2)
|b| = sqrt(1 + 9 + 4)
|b| = sqrt(14)

Sudut θ = -π/3, maka cos θ = cos(-π/3) = 1/2.

Masukkan ke dalam rumus dot product:
1 - 2x = sqrt(5 + x^2) * sqrt(14) * (1/2)
1 - 2x = (sqrt(14(5 + x^2))) / 2
2(1 - 2x) = sqrt(70 + 14x^2)

Kuadratkan kedua sisi:
(2(1 - 2x))^2 = 70 + 14x^2
4(1 - 4x + 4x^2) = 70 + 14x^2
4 - 16x + 16x^2 = 70 + 14x^2

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat:
16x^2 - 14x^2 - 16x + 4 - 70 = 0
2x^2 - 16x - 66 = 0

Bagi semua suku dengan 2:
x^2 - 8x - 33 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(x - 11)(x + 3) = 0
Maka, x = 11 atau x = -3.

Kita perlu memeriksa kedua nilai x ini pada persamaan 2(1 - 2x) = sqrt(70 + 14x^2).

Jika x = 11:
2(1 - 2(11)) = 2(1 - 22) = 2(-21) = -42
sqrt(70 + 14(11)^2) = sqrt(70 + 14(121)) = sqrt(70 + 1694) = sqrt(1764) = 42
Karena -42 ≠ 42, maka x = 11 tidak memenuhi.

Jika x = -3:
2(1 - 2(-3)) = 2(1 + 6) = 2(7) = 14
sqrt(70 + 14(-3)^2) = sqrt(70 + 14(9)) = sqrt(70 + 126) = sqrt(196) = 14
Karena 14 = 14, maka x = -3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah -3.

Sekarang, hitung nilai dari 2x^2:
2x^2 = 2(-3)^2
2x^2 = 2(9)
2x^2 = 18

Jadi, nilai dari 2x^2 adalah 18.