Jika a adalah sudut di kuadran II dan tan a=-2/3, tunjukkan

Menggunakan identitas trigonometri, ekspresi disederhanakan menjadi -sin(a). Dengan tan(a) = -2/3 di kuadran II, sin(a) = 2/√13. Maka, hasilnya adalah -2/√13.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, kita akan menganalisis setiap suku dalam ekspresi:
sin(90° - a) = cos(a) (menggunakan identitas komplementer)
cos(180° - a) = -cos(a) (karena di kuadran II, kosinus negatif)
tan(270° + a) = -cot(a) (karena di kuadran IV, tangen negatif)
cot(360° - a) = -cot(a) (karena di kuadran IV, kotangen negatif)

Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
[cos(a) - (-cos(a))] / [-cot(a) + (-cot(a))]
= [cos(a) + cos(a)] / [-2 cot(a)]
= 2 cos(a) / (-2 cot(a))
= cos(a) / (-cot(a))
= cos(a) / (-cos(a)/sin(a))
= cos(a) \times (-sin(a)/cos(a))
= -sin(a)

Sekarang, kita diberikan bahwa tan(a) = -2/3 dan a berada di kuadran II. Dalam kuadran II, sin(a) positif dan cos(a) negatif.
Kita dapat membentuk segitiga siku-siku bantu dengan sisi depan (depan sudut a) = 2 dan sisi samping = 3 (mengabaikan tanda negatif untuk sementara). Sisi miring (hipotenusa) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: r^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13, sehingga r = sqrt(13).

Karena a di kuadran II, sin(a) positif. Maka, sin(a) = depan/miring = 2/sqrt(13).

Jadi, hasil dari ekspresi tersebut adalah -sin(a) = -2/sqrt(13).

Dengan demikian, terbukti bahwa sin(90-a)-cos(180-a)/tan(270+a)+cot (360-a)=-2/akar(13).