Jika a+b<2c dan a>c, maka ...

a > b

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan a+b < 2c dengan informasi tambahan a > c, kita dapat melakukan substitusi atau manipulasi aljabar.

Dari a > c, kita tahu bahwa selisih antara a dan c adalah positif.

Sekarang, mari kita lihat pertidaksamaan a+b < 2c.
Kita bisa menata ulang pertidaksamaan ini menjadi b < 2c - a.

Karena kita tahu a > c, maka a - c > 0.

Mari kita coba substitusi beberapa nilai. Misalkan c = 5 dan a = 7. Maka a > c terpenuhi.
Substitusikan ke dalam pertidaksamaan: 7 + b < 2*5
7 + b < 10
b < 10 - 7
b < 3

Dalam kasus ini, a = 7 dan c = 5, sehingga 2c - a = 2*5 - 7 = 10 - 7 = 3. Jadi, b < 3.

Kita bisa juga melihat hubungan antara b dan a-c.
Dari b < 2c - a, kita dapat menulis b < c + (c - a).
Karena a > c, maka c - a adalah bilangan negatif.
Misalkan a = c + k, di mana k > 0.
Maka b < 2c - (c + k)
b < 2c - c - k
b < c - k
Karena k > 0, maka c - k < c.
Jadi, b < c - k, yang berarti b lebih kecil dari c dikurangi suatu bilangan positif, sehingga b pasti lebih kecil dari c.

Selain itu, dari b < c - k, karena k > 0, maka b bisa jadi lebih kecil dari nol atau positif, tergantung nilai c dan k.
Namun, kita dapat menyimpulkan hubungan antara b dan a-c. Dari b < 2c - a, kita dapat mengatur ulang menjadi a + b < 2c. Jika kita mengurangi c dari kedua sisi, kita mendapatkan a - c + b < c. Karena a > c, maka a - c > 0. Ini berarti b harus lebih kecil dari c dikurangi selisih positif (a-c) agar pertidaksamaan awal terpenuhi. Sehingga, b < c - (a-c) = 2c - a.

Jika kita ingin mencari hubungan antara b dan a, atau b dan c secara langsung:
Karena a > c, maka -a < -c.
Menambahkan b pada kedua sisi:
b - a < b - c.
Ini tidak terlalu membantu.

Mari kita kembali ke b < 2c - a.
Karena a > c, maka a bisa ditulis sebagai a = c + x, di mana x > 0.
Maka, b < 2c - (c + x) => b < c - x.
Karena x > 0, maka c - x < c. Jadi, b < c.

Kita juga bisa membandingkan b dengan a.
Dari b < 2c - a, kita bisa menulis a + b < 2c.
Karena a > c, mari kita lihat apakah a + b > a atau a + b < a.
Ini tergantung pada nilai b.

Jika kita ingin mencari hubungan yang paling pasti:
Kita memiliki a > c dan a + b < 2c.
Dari a > c, kita dapat mengalikan dengan -1 dan membalikkan tanda ketidaksamaan: -a < -c.
Menambahkan a+b pada kedua sisi tidak relevan.

Mari kita gunakan a+b < 2c dan a > c.
Substitusikan a = c + x (dengan x > 0) ke dalam a+b < 2c:
(c + x) + b < 2c
c + x + b < 2c
x + b < c
b < c - x
Karena x > 0, maka c - x < c. Jadi, b < c.

Sekarang kita tahu b < c dan a > c.
Mari kita bandingkan a dan b.
Kita tahu a > c dan b < c. Ini secara langsung menyiratkan bahwa a > b.

Jadi, jika a+b < 2c dan a > c, maka a > b.