Jika (a+b):(a-b)=1:5, hasil dari (a^2-b^2):(a^2+b^2)

5:13

Pembahasan

Diketahui perbandingan $(a+b):(a-b) = 1:5$. Ini dapat ditulis sebagai $\frac{a+b}{a-b} = \frac{1}{5}$.
Untuk mencari nilai perbandingan $a$ dan $b$, kita dapat mengalikan silang:
$5(a+b) = 1(a-b)$
$5a + 5b = a - b$
Pindahkan semua suku yang mengandung $a$ ke satu sisi dan suku yang mengandung $b$ ke sisi lain:
$5a - a = -b - 5b$
$4a = -6b$
Bagi kedua sisi dengan 4 dan -6 untuk mendapatkan perbandingan $a$ terhadap $b$:
$\frac{a}{b} = \frac{-6}{4}$
$\frac{a}{b} = -\frac{3}{2}$
Ini berarti $a = -3k$ dan $b = 2k$ untuk suatu konstanta $k$ (atau $a = 3k$ dan $b = -2k$, hasilnya akan sama karena ada pengkuadratan).

Sekarang kita perlu mencari hasil dari $(a^2 - b^2) : (a^2 + b^2)$.
Substitusikan nilai $a = -3k$ dan $b = 2k$ ke dalam ekspresi tersebut:
$a^2 = (-3k)^2 = 9k^2$
$b^2 = (2k)^2 = 4k^2$

$a^2 - b^2 = 9k^2 - 4k^2 = 5k^2$
$a^2 + b^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2$

Jadi, $(a^2 - b^2) : (a^2 + b^2) = (5k^2) : (13k^2)$.
Kita dapat membatalkan $k^2$ (asumsikan $k \neq 0$):
$(a^2 - b^2) : (a^2 + b^2) = 5 : 13$

Jika kita menggunakan $a = 3k$ dan $b = -2k$:
$a^2 = (3k)^2 = 9k^2$
$b^2 = (-2k)^2 = 4k^2$
$a^2 - b^2 = 9k^2 - 4k^2 = 5k^2$
$a^2 + b^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2$
Hasilnya tetap sama, yaitu 5:13.

Jadi, hasil dari $(a^2-b^2):(a^2+b^2)$ adalah 5:13.