Jika a, b, c, d adalah bilangan bulat positif berbeda

Nilai terkecil yang mungkin dari (a+b)/(c+d) adalah 1/69.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan abcd = 2020, di mana a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif yang berbeda. Kita ingin mencari nilai terkecil yang mungkin dari rasio (a+b)/(c+d).

Untuk meminimalkan rasio (a+b)/(c+d), kita perlu membuat nilai pembilang (a+b) sekecil mungkin dan nilai penyebut (c+d) sebesar mungkin, dengan syarat a, b, c, d adalah bilangan bulat positif yang berbeda dan hasil perkaliannya adalah 2020.

Langkah pertama adalah mencari faktor-faktor prima dari 2020:
2020 = 10 * 202
     = (2 * 5) * (2 * 101)
     = 2² * 5¹ * 101¹

Sekarang kita perlu mencari empat bilangan bulat positif yang berbeda (a, b, c, d) yang hasil perkaliannya adalah 2020. Kita juga perlu mempertimbangkan bagaimana cara memilih pasangan (a, b) dan (c, d) untuk meminimalkan (a+b)/(c+d).

Untuk membuat (a+b) sekecil mungkin, kita pilih dua bilangan terkecil dari faktor-faktor yang tersedia. Untuk membuat (c+d) sebesar mungkin, kita pilih dua bilangan terbesar.

Mari kita daftar kombinasi faktor-faktor yang berbeda:
Kemungkinan 1: Menggunakan faktor-faktor prima secara langsung jika memungkinkan, tetapi kita memerlukan 4 bilangan.
Kita bisa mendapatkan 4 bilangan berbeda dengan memisahkan faktor-faktor prima:
- 2, 2, 5, 101 (Tidak bisa karena ada dua angka 2 yang sama)

Kita perlu membentuk 4 bilangan berbeda dari 2², 5, 101. Cara paling umum untuk mendapatkan 4 bilangan berbeda adalah dengan mengambil beberapa faktor prima dan mengalikannya untuk membentuk bilangan yang lebih besar, sambil memastikan semua bilangan yang dihasilkan berbeda.

Mari kita coba beberapa kombinasi:

Kombinasi 1:
- Ambil faktor-faktor terkecil untuk (a, b) dan faktor-faktor terbesar untuk (c, d).
- Kemungkinan pembentukan bilangan: 1, 2, 5, 202 (2 * 2 * 5 * 101 = 2020, tetapi 202 = 2 * 101, jadi kita tidak bisa menggunakan 2, 5, 101 secara terpisah lagi jika kita sudah membentuk 202. Ini cara berpikir yang salah).

Kita harus memecah 2020 menjadi 4 faktor berbeda.
2020 = 2 * 2 * 5 * 101

Untuk mendapatkan 4 bilangan berbeda, kita bisa menggabungkan faktor-faktor tersebut:

Opsi 1: {1, 2, 5, 202} (Tidak valid karena 202 = 2 * 101, jadi kita tidak menggunakan faktor prima 2 dan 101 secara independen lagi)
Opsi 2: {1, 4, 5, 101} (Valid: 1 * 4 * 5 * 101 = 2020. Keempat bilangan berbeda).
Opsi 3: {1, 2, 10, 101} (Valid: 1 * 2 * 10 * 101 = 2020. Keempat bilangan berbeda).
Opsi 4: {2, 4, 5, 50.5} (Tidak valid karena 50.5 bukan bilangan bulat).
Opsi 5: {2, 2, 5, 101} (Tidak valid karena ada duplikat).
Opsi 6: {4, 5, 10, 101/2} (Tidak valid).
Opsi 7: {1, 5, 10, 202} (Valid: 1 * 5 * 10 * 202 = 10010, bukan 2020).
Opsi 8: {2, 5, 10, 202} (Tidak valid karena 2*5*10*202 = 20200).
Opsi 9: {1, 10, 20, 101} (Tidak valid karena 1*10*20*101 = 20200).
Opsi 10: {1, 2, 101, 10} (Sama dengan Opsi 3).
Opsi 11: {4, 5, 101, 1} (Sama dengan Opsi 2).

Mari kita fokus pada Opsi 2 dan Opsi 3 karena mereka menghasilkan 4 bilangan bulat positif yang berbeda yang hasil kalinya 2020.

Kasus 1: {a, b, c, d} = {1, 4, 5, 101}
Untuk meminimalkan (a+b)/(c+d):
- Pilih a=1, b=4 (paling kecil). Jumlahnya a+b = 1+4 = 5.
- Maka c=5, d=101 (paling besar). Jumlahnya c+d = 5+101 = 106.
- Rasio = (1+4)/(5+101) = 5/106.

Atau jika kita memilih c=1, d=4, maka a=5, b=101.
- Rasio = (5+101)/(1+4) = 106/5 (Ini akan memaksimalkan rasio).

Jadi, untuk meminimalkan rasio, kita pilih pembilang dari dua bilangan terkecil dan penyebut dari dua bilangan terbesar.

Jika {a, b} = {1, 4}, maka a+b = 5.
Jika {c, d} = {5, 101}, maka c+d = 106.
Rasio = 5/106.

Kasus 2: {a, b, c, d} = {1, 2, 10, 101}
Untuk meminimalkan (a+b)/(c+d):
- Pilih a=1, b=2 (paling kecil). Jumlahnya a+b = 1+2 = 3.
- Maka c=10, d=101 (paling besar). Jumlahnya c+d = 10+101 = 111.
- Rasio = (1+2)/(10+101) = 3/111.

Sekarang kita bandingkan kedua rasio:
5/106 vs 3/111
Untuk membandingkan, kita bisa menyamakan penyebut atau mengalikan silang:
5 * 111 = 555
106 * 3 = 318

Karena 318 < 555, maka 3/111 < 5/106.

Jadi, nilai terkecil yang mungkin dari (a+b)/(c+d) adalah 3/111.
Kita dapat menyederhanakan 3/111 dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
3/111 = 1/37.

Mari kita periksa apakah ada kombinasi lain yang mungkin memberikan hasil lebih kecil.
Kita perlu memastikan bahwa pembilang (a+b) sekecil mungkin dan penyebut (c+d) sebesar mungkin.

Faktor-faktor prima dari 2020 adalah 2, 2, 5, 101.
Kita perlu membentuk 4 bilangan bulat positif yang berbeda.

Cara membentuk 4 bilangan berbeda dari 2, 2, 5, 101:
1. 1, 4, 5, 101 (2*2=4). a+b=1+4=5, c+d=5+101=106. Rasio = 5/106.
2. 1, 2, 10, 101 (2*5=10). a+b=1+2=3, c+d=10+101=111. Rasio = 3/111.
3. 1, 2, 5, 202 (2*101=202). a+b=1+2=3, c+d=5+202=207. Rasio = 3/207.
   Bandingkan 3/111 dengan 3/207. Jelas 3/207 lebih kecil.
   3/207 = 1/69.

Mari kita bandingkan 1/37 dan 1/69. Jelas 1/69 lebih kecil.

Ada lagi kombinasi?
Kita bisa menggabungkan faktor lain:
- 2, 2, 25, 101/5 (tidak bulat)
- 4, 5, 101, 1 (sudah ada)
- 2, 5, 202, 1 (sudah ada)
- 10, 20, 101, 1 (tidak memenuhi)
- 2, 10, 101, 2 (ada duplikat)

Mari kita cek lagi kombinasi {1, 2, 5, 202}:
a=1, b=2, c=5, d=202.
a+b = 3, c+d = 207. Rasio = 3/207 = 1/69.

Mari kita cek kombinasi {1, 4, 5, 101}:
a=1, b=4, c=5, d=101.
a+b = 5, c+d = 106. Rasio = 5/106.

Mari kita cek kombinasi {1, 2, 10, 101}:
a=1, b=2, c=10, d=101.
a+b = 3, c+d = 111. Rasio = 3/111 = 1/37.

Untuk mendapatkan nilai terkecil dari (a+b)/(c+d), kita harus membuat (a+b) sekecil mungkin dan (c+d) sebesar mungkin.

Kandidat pembilang terkecil (a+b):
- 1+2 = 3 (menggunakan {1, 2})
- 1+4 = 5 (menggunakan {1, 4})
- 1+5 = 6 (menggunakan {1, 5})
- 2+4 = 6 (menggunakan {2, 4})

Kandidat penyebut terbesar (c+d) yang tersisa dari faktor-faktor yang berbeda:

Jika a=1, b=2 (a+b=3), maka faktor yang tersisa adalah {4, 5, 101}. Kita perlu memilih dua dari ini untuk c dan d.
- c=5, d=101 (menggunakan faktor 5 dan 101). c+d = 106. Rasio = 3/106. (Kombinasi {1, 2, 5, 101} - tidak bisa membentuk 2020).
Ini adalah kesalahan logika. Kita harus menggunakan semua faktor dari 2020.

2020 = 2 * 2 * 5 * 101
Kita perlu membagi faktor-faktor ini menjadi 4 bilangan bulat positif yang berbeda.

Possibility 1: Split factors as (1), (2), (5), (2*2*101 = 404) -> {1, 2, 5, 404}
   a+b = 1+2 = 3
   c+d = 5+404 = 409
   Rasio = 3/409

Possibility 2: Split factors as (1), (4), (5), (101) -> {1, 4, 5, 101}
   a+b = 1+4 = 5
   c+d = 5+101 = 106
   Rasio = 5/106

Possibility 3: Split factors as (1), (2), (10), (101) -> {1, 2, 10, 101}
   a+b = 1+2 = 3
   c+d = 10+101 = 111
   Rasio = 3/111

Possibility 4: Split factors as (1), (5), (4), (101) - sama dengan 2
Possibility 5: Split factors as (2), (5), (2), (101) - duplikat
Possibility 6: Split factors as (1), (2), (202), (5) -> {1, 2, 5, 202}
   a+b = 1+2 = 3
   c+d = 5+202 = 207
   Rasio = 3/207

Possibility 7: Split factors as (4), (5), (101), (1) - sama dengan 2
Possibility 8: Split factors as (10), (2), (5), (101) - sama dengan 3
Possibility 9: Split factors as (101), (2), (5), (2) - duplikat
Possibility 10: Split factors as (1), (101), (4), (5) - sama dengan 2

Mari bandingkan rasio yang didapat:
3/409, 5/106, 3/111, 3/207.

Untuk menemukan nilai terkecil, kita cari pembilang terkecil dan penyebut terbesar.
Pembilang terkecil adalah 3, yang didapat dari {1, 2}.

Jika a=1, b=2 (a+b=3), maka faktor yang tersisa adalah 2, 5, 101.
Kita harus membentuk dua bilangan berbeda dari {2, 5, 101} untuk c dan d, sehingga c*d = 2*5*101 = 1010.
Kombinasi (c, d) dari {2, 5, 101} adalah:
   - c=5, d=202 (2*101). Ini berarti a, b, c, d adalah {1, 2, 5, 202}. (Sama dengan Possibility 6).
     a+b = 1+2 = 3.
     c+d = 5+202 = 207.
     Rasio = 3/207 = 1/69.
   - c=2, d=505 (5*101). Ini berarti a, b, c, d adalah {1, 2, 2, 505}. (Duplikat 2, tidak valid).
   - c=10, d=101 (2*5). Ini berarti a, b, c, d adalah {1, 2, 10, 101}. (Sama dengan Possibility 3).
     a+b = 1+2 = 3.
     c+d = 10+101 = 111.
     Rasio = 3/111 = 1/37.

Untuk meminimalkan rasio (a+b)/(c+d), kita ingin a+b sekecil mungkin dan c+d sebesar mungkin.

Pasangan (a, b) terkecil:
1. a=1, b=2 => a+b=3. Sisa faktor: 2, 5, 101. Untuk c, d, kita ingin memaksimalkan c+d. Pasangan (c, d) yang mungkin dari sisa faktor: (2, 505), (5, 202), (10, 101). Ingat a,b,c,d harus berbeda.
   - Jika {a,b} = {1,2}, sisa {2,5,101}. Kita perlu membagi {2,5,101} menjadi dua bilangan yang berbeda. Kita bisa menggabungkan: (2*5)=10 dan 101. Maka {c,d} = {10, 101}. c+d = 111. Rasio = 3/111 = 1/37. (Bilangan: 1, 2, 10, 101).
   - Jika {a,b} = {1,2}, sisa {2,5,101}. Kita bisa menggabungkan: (2*101)=202 dan 5. Maka {c,d} = {5, 202}. c+d = 207. Rasio = 3/207 = 1/69. (Bilangan: 1, 2, 5, 202).
   - Jika {a,b} = {1,2}, sisa {2,5,101}. Kita bisa menggabungkan: (5*101)=505 dan 2. Maka {c,d} = {2, 505}. c+d = 507. Rasio = 3/507 = 1/169. (Bilangan: 1, 2, 2, 505 - duplikat 2, tidak valid).

2. a=1, b=4 => a+b=5. Sisa faktor: 5, 101. Kita perlu membagi 5, 101 menjadi dua bilangan yang berbeda. Ini tidak mungkin karena hanya ada dua bilangan tersisa. Maka {c,d} = {5, 101}. c+d = 106. Rasio = 5/106. (Bilangan: 1, 4, 5, 101).

Membandingkan rasio yang valid:
1/37, 1/69, 5/106.

1/37 ≈ 0.027
1/69 ≈ 0.0145
5/106 ≈ 0.047

Nilai terkecil adalah 1/69.

Jadi, kita perlu menemukan kombinasi 4 bilangan bulat positif yang berbeda yang hasil kalinya 2020, di mana dua bilangan terkecil dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah dua bilangan terbesar.

Faktor dari 2020 adalah 2² * 5 * 101.

Kemungkinan set {a, b, c, d} yang berbeda:
1. {1, 4, 5, 101} => (1+4)/(5+101) = 5/106
2. {1, 2, 10, 101} => (1+2)/(10+101) = 3/111 = 1/37
3. {1, 2, 5, 202} => (1+2)/(5+202) = 3/207 = 1/69
4. {1, 5, 10, 101} => (1+5)/(10+101) = 6/111 = 2/37
5. {2, 4, 5, 101} => (2+4)/(5+101) = 6/106 = 3/53
6. {2, 5, 10, 101} => (2+5)/(10+101) = 7/111
7. {4, 5, 10, 101} => (4+5)/(10+101) = 9/111 = 3/37

Kita perlu memastikan bahwa kita telah mempertimbangkan semua cara untuk membentuk 4 bilangan berbeda dari faktor-faktor 2, 2, 5, 101.

Bilangan-bilangan tersebut adalah a, b, c, d.
Kita ingin meminimalkan (a+b)/(c+d).
Ini berarti kita harus memilih a dan b sekecil mungkin, dan c dan d sebesar mungkin.

Faktor-faktornya adalah 1, 2, 2, 5, 101 (jika kita memecah 4 menjadi 2x2).
Kita perlu 4 bilangan yang berbeda.

Cara membuat 4 bilangan berbeda:
- Gunakan 1 sebagai salah satu bilangan.
- Gabungkan faktor-faktor prima untuk membuat bilangan lain.

1. Faktor: {1}. Sisa: {2, 2, 5, 101}. Kita perlu membentuk 3 bilangan berbeda dari sisa ini.
   - {2}, {5}, {2*101=202} => {1, 2, 5, 202}. Hasil perkalian = 1*2*5*202 = 2020. Keempat bilangan berbeda.
     Ambil a=1, b=2 (terkecil). a+b = 3.
     Ambil c=5, d=202 (terbesar). c+d = 207.
     Rasio = 3/207 = 1/69.
   - {4 (2*2)}, {5}, {101} => {1, 4, 5, 101}. Hasil perkalian = 1*4*5*101 = 2020. Keempat bilangan berbeda.
     Ambil a=1, b=4 (terkecil). a+b = 5.
     Ambil c=5, d=101 (terbesar). c+d = 106.
     Rasio = 5/106.
   - {2}, {10 (2*5)}, {101} => {1, 2, 10, 101}. Hasil perkalian = 1*2*10*101 = 2020. Keempat bilangan berbeda.
     Ambil a=1, b=2 (terkecil). a+b = 3.
     Ambil c=10, d=101 (terbesar). c+d = 111.
     Rasio = 3/111 = 1/37.

Perbandingan rasio: 1/69, 5/106, 1/37.
Nilai terkecil adalah 1/69.

Untuk memastikan nilai terkecil, kita perlu memastikan bahwa a+b adalah yang terkecil dan c+d adalah yang terbesar.

Jika kita mengambil {a, b, c, d} = {1, 2, 5, 202}:
a=1, b=2 -> a+b=3.
c=5, d=202 -> c+d=207.
Rasio = 3/207 = 1/69.

Jika kita mengambil {a, b, c, d} = {1, 4, 5, 101}:
a=1, b=4 -> a+b=5.
c=5, d=101 -> c+d=106.
Rasio = 5/106.

Jika kita mengambil {a, b, c, d} = {1, 2, 10, 101}:
a=1, b=2 -> a+b=3.
c=10, d=101 -> c+d=111.
Rasio = 3/111 = 1/37.

Nilai terkecil adalah 1/69.

Mari kita cek lagi.
Kita ingin meminimalkan (a+b)/(c+d).
Kita tahu 2020 = 2 * 2 * 5 * 101.
Untuk membuat a+b sekecil mungkin, kita pilih bilangan terkecil.
Untuk membuat c+d sebesar mungkin, kita pilih bilangan terbesar.

Kombinasi 4 bilangan bulat positif berbeda:
1. 1, 2, 5, 202 (2*101=202). Product: 1*2*5*202 = 2020.
   (1+2)/(5+202) = 3/207 = 1/69.
2. 1, 4, 5, 101 (2*2=4). Product: 1*4*5*101 = 2020.
   (1+4)/(5+101) = 5/106.
3. 1, 2, 10, 101 (2*5=10). Product: 1*2*10*101 = 2020.
   (1+2)/(10+101) = 3/111 = 1/37.

Nilai terkecil adalah 1/69.

Pastikan tidak ada kombinasi lain.
Kita punya faktor prima 2, 2, 5, 101.
Kita perlu membentuk 4 bilangan yang berbeda.

Cara lain membagi 2, 2, 5, 101 menjadi 4 bilangan berbeda:
Kita bisa menggunakan 1. Jadi kita punya 1, dan 3 bilangan lain dari 2, 2, 5, 101.
   - 1, 2, 5, 202 (2*101). Rasio 1/69.
   - 1, 4 (2*2), 5, 101. Rasio 5/106.
   - 1, 2, 10 (2*5), 101. Rasio 1/37.
   - 1, 5, 10 (2*5), 202 (2*101). Hasil 1*5*10*202 = 10100 (salah).

Jadi, hanya ada 3 kombinasi yang valid:
{1, 2, 5, 202}, {1, 4, 5, 101}, {1, 2, 10, 101}.

Untuk meminimalkan (a+b)/(c+d), kita pilih dua bilangan terkecil untuk a dan b.

Dari {1, 2, 5, 202}:
a+b = 1+2=3. c+d = 5+202=207. Rasio = 3/207 = 1/69.

Dari {1, 4, 5, 101}:
a+b = 1+4=5. c+d = 5+101=106. Rasio = 5/106.

Dari {1, 2, 10, 101}:
a+b = 1+2=3. c+d = 10+101=111. Rasio = 3/111 = 1/37.

Nilai terkecil adalah 1/69.

Jadi, a=1, b=2, c=5, d=202 atau a=2, b=1, c=5, d=202, dll.
Nilai terkecil yang mungkin dari (a+b)/(c+d) adalah 1/69.