Jika a dan b memenuhi sistem persamaan { 2 x+2 b y=a 2 x+2

0

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear:
1. $2x + 2by = a$
2. $2x + 2ay = b$
3. $5x + aby = 1$

Kita akan mengeliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2).
Kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2):
$(2x + 2by) - (2x + 2ay) = a - b$
$2by - 2ay = a - b$
$2y(b - a) = -(b - a)$

Jika $b \ne a$, kita bisa membagi kedua sisi dengan $(b - a)$:
$2y = -1$
$y = -1/2$

Sekarang, substitusikan $y = -1/2$ ke dalam persamaan (1):
$2x + 2b(-1/2) = a$
$2x - b = a$
$2x = a + b$
$x = (a + b) / 2$

Selanjutnya, substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke dalam persamaan (3):
$5x + aby = 1$
$5((a + b) / 2) + ab(-1/2) = 1$
$5(a + b) / 2 - ab / 2 = 1$
Kalikan kedua sisi dengan 2 agar penyebutnya hilang:
$5(a + b) - ab = 2$
$5a + 5b - ab = 2$

Dari soal, kita diminta mencari nilai $ab$. Namun, persamaan yang kita dapatkan masih melibatkan $a$ dan $b$. Mari kita coba pendekatan lain atau periksa kembali apakah ada informasi yang terlewat atau kondisi khusus.

Kita perlu mencari nilai $ab$ dari sistem persamaan tersebut. Coba kita lihat kembali persamaan $5a + 5b - ab = 2$. Ini adalah satu persamaan dengan dua variabel, sehingga tidak cukup untuk menentukan nilai $ab$ secara unik, kecuali jika ada hubungan lain antara $a$ dan $b$ atau jika nilai $ab$ memang konstan untuk semua $a$ dan $b$ yang memenuhi.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus di mana $a=b$. Jika $a=b$, maka:
Persamaan 1 menjadi: $2x + 2ay = a$
Persamaan 2 menjadi: $2x + 2ay = a$
Kedua persamaan identik.
Persamaan 3 menjadi: $5x + a^2y = 1$

Dari $2x + 2ay = a$, kita dapatkan $x + ay = a/2$.
Substitusikan ke persamaan 3: $5x + a^2y = 1$.
Kita bisa mengalikan persamaan $x + ay = a/2$ dengan 5: $5x + 5ay = 5a/2$.
Sekarang kurangkan persamaan ini dengan persamaan 3:
$(5x + 5ay) - (5x + a^2y) = 5a/2 - 1$
$5ay - a^2y = 5a/2 - 1$
$y(5a - a^2) = (5a - 2) / 2$

Jika $a=b$, maka $y = -1/2$ seperti yang kita dapatkan sebelumnya (karena $b-a=0$, sehingga pembagian langsung tidak valid, namun jika kita lihat lagi $2y(b-a) = -(b-a)$, jika $b 
eq a$ maka $y=-1/2$. Jika $b=a$, maka $0=0$, yang berarti $y$ bisa berapa saja, asalkan persamaan pertama dan kedua dipenuhi. Namun, ini tidak konsisten dengan substitusi ke persamaan ketiga).

Mari kita kembali ke $5a + 5b - ab = 2$. Perhatikan bahwa jika kita bisa memanipulasi persamaan untuk mendapatkan bentuk $ab$, mungkin ada solusinya.

Coba kita lihat pilihan jawaban: a. 0, c. 2, e. 4, b. 1, d. 3.
Jika $ab = 1$, maka $5a + 5b - 1 = 2 
ightarrow 5a + 5b = 3$. $5(a+b) = 3 
ightarrow a+b = 3/5$. Jika $ab=1$ dan $a+b=3/5$, maka $t^2 - (3/5)t + 1 = 0$. Diskriminannya adalah $(3/5)^2 - 4(1)(1) = 9/25 - 4 < 0$. Tidak ada solusi riil untuk $a$ dan $b$.

Jika $ab = 2$, maka $5a + 5b - 2 = 2 
ightarrow 5a + 5b = 4$. $5(a+b) = 4 
ightarrow a+b = 4/5$. Jika $ab=2$ dan $a+b=4/5$, maka $t^2 - (4/5)t + 2 = 0$. Diskriminannya adalah $(4/5)^2 - 4(1)(2) = 16/25 - 8 < 0$. Tidak ada solusi riil untuk $a$ dan $b$.

Jika $ab = 3$, maka $5a + 5b - 3 = 2 
ightarrow 5a + 5b = 5$. $5(a+b) = 5 
ightarrow a+b = 1$. Jika $ab=3$ dan $a+b=1$, maka $t^2 - t + 3 = 0$. Diskriminannya adalah $(-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 < 0$. Tidak ada solusi riil untuk $a$ dan $b$.

Jika $ab = 4$, maka $5a + 5b - 4 = 2 
ightarrow 5a + 5b = 6$. $5(a+b) = 6 
ightarrow a+b = 6/5$. Jika $ab=4$ dan $a+b=6/5$, maka $t^2 - (6/5)t + 4 = 0$. Diskriminannya adalah $(6/5)^2 - 4(1)(4) = 36/25 - 16 < 0$. Tidak ada solusi riil untuk $a$ dan $b$.

Jika $ab = 0$, maka $5a + 5b - 0 = 2 
ightarrow 5a + 5b = 2$. $5(a+b) = 2 
ightarrow a+b = 2/5$. Jika $ab=0$, maka salah satu dari $a$ atau $b$ adalah 0. Jika $a=0$, maka $b=2/5$. Mari kita periksa apakah ini memenuhi sistem awal.
Jika $a=0$ dan $b=2/5$:
1. $2x + 2(2/5)y = 0 
ightarrow 2x + (4/5)y = 0$
2. $2x + 2(0)y = 2/5 
ightarrow 2x = 2/5 
ightarrow x = 1/5$
3. $5x + (0)(2/5)y = 1 
ightarrow 5x = 1 
ightarrow x = 1/5$

Substitusikan $x=1/5$ ke persamaan 1:
$2(1/5) + (4/5)y = 0$
$2/5 + (4/5)y = 0$
$(4/5)y = -2/5$
$y = -2/5 	imes 5/4 = -2/4 = -1/2$

Jadi, jika $a=0$ dan $b=2/5$, maka $x = 1/5$ dan $y = -1/2$. Sistem ini konsisten.
Dalam kasus ini, $ab = 0 	imes (2/5) = 0$.

Mari kita cek jika $b=0$. Maka $a=2/5$. Dari sistem:
1. $2x + 2(2/5)y = 2/5 
ightarrow 2x + (4/5)y = 2/5$
2. $2x + 2(0)y = 0 
ightarrow 2x = 0 
ightarrow x = 0$
3. $5x + (2/5)(0)y = 1 
ightarrow 5x = 1 
ightarrow x = 1/5$

Terjadi kontradiksi ($x=0$ dan $x=1/5$), jadi kasus $b=0$ tidak mungkin.

Namun, kita menemukan bahwa $ab=0$ adalah solusi yang valid. Mari kita periksa kembali derivation kita.
Kita sampai pada $5a + 5b - ab = 2$ dengan asumsi $b 
e a$. Jika $ab=0$, maka $a=0$ atau $b=0$. Jika $a=0$, maka $5b = 2$, $b=2/5$. Di sini $a 
e b$, jadi asumsi valid. Maka $ab=0$ adalah jawabannya.

Bagaimana jika $a=b$? Maka kita dapatkan $y(5a-a^2) = (5a-2)/2$. Dan $x = (a+b)/2 = (2a)/2 = a$. Substitusi ke persamaan 3: $5x + a^2y = 1 
ightarrow 5a + a^2y = 1$. Dari $2x+2ay=a$ menjadi $2a+2ay=a 
ightarrow 2ay = -a$. Jika $a 
e 0$, maka $2y=-1$, $y=-1/2$. Substitusi ke $5a+a^2y=1$: $5a + a^2(-1/2) = 1 
ightarrow 5a - a^2/2 = 1 
ightarrow 10a - a^2 = 2 
ightarrow a^2 - 10a + 2 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat $a = rac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{92}}{2} = 5 \pm \sqrt{23}$. Dalam kasus ini, $ab = a^2 = (5 \pm \sqrt{23})^2 = 25 \pm 10\sqrt{23} + 23 = 48 \pm 10\sqrt{23}$. Ini bukan salah satu pilihan.

Jadi, kita harus kembali pada kondisi $b 
e a$ yang menghasilkan $ab=0$.