Buktikan bahwa: 2+5+8+...+(3n-1)=(3n^2+n)/2 untuk setiap

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 2+5+8+...+(3n-1)=(3n^2+n)/2 untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan induksi matematika.
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, ruas kiri = 2. Ruas kanan = (3(1)^2 + 1)/2 = (3+1)/2 = 4/2 = 2. Ruas kiri = ruas kanan, jadi pernyataan benar untuk n=1.
Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan pernyataan benar untuk n=k, yaitu 2+5+8+...+(3k-1)=(3k^2+k)/2.
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n=k+1, yaitu 2+5+8+...+(3k-1)+(3(k+1)-1) = (3(k+1)^2+(k+1))/2.
Dari asumsi, kita tahu bahwa 2+5+8+...+(3k-1) = (3k^2+k)/2. Maka, kita bisa menuliskan ruas kiri untuk n=k+1 sebagai berikut:
(3k^2+k)/2 + (3(k+1)-1)
= (3k^2+k)/2 + (3k+3-1)
= (3k^2+k)/2 + (3k+2)
Untuk menjumlahkannya, kita samakan penyebutnya:
= (3k^2+k)/2 + 2(3k+2)/2
= (3k^2+k + 6k+4)/2
= (3k^2+7k+4)/2
Sekarang, mari kita lihat ruas kanan untuk n=k+1:
(3(k+1)^2+(k+1))/2
= (3(k^2+2k+1) + k+1)/2
= (3k^2+6k+3 + k+1)/2
= (3k^2+7k+4)/2
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka pernyataan terbukti benar untuk setiap bilangan asli n.