Jika A =/= O, maka A^2 = AA mungkin saja sama dengan O.

A^2 = [[0, 0], [0, 0]] atau matriks nol.

Pembahasan

Diberikan matriks A = 
[ 1  1 ]
[-1 -1]

Kita diminta untuk menghitung A^2 dan menunjukkan bahwa A^2 bisa sama dengan matriks nol (O), jika A bukan matriks nol.

Perkalian matriks A dengan dirinya sendiri (A^2) dilakukan sebagai berikut:
A^2 = A × A

   [ 1  1 ]   [ 1  1 ]
A^2 = [     ] × [     ]
   [-1 -1]   [-1 -1]

Untuk mendapatkan elemen pada baris i dan kolom j dari hasil perkalian matriks, kita kalikan elemen-elemen pada baris i dari matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom j dari matriks kedua, lalu jumlahkan hasilnya.

Elemen baris 1, kolom 1 (A^2_11):
(1 * 1) + (1 * -1) = 1 + (-1) = 0

Elemen baris 1, kolom 2 (A^2_12):
(1 * 1) + (1 * -1) = 1 + (-1) = 0

Elemen baris 2, kolom 1 (A^2_21):
(-1 * 1) + (-1 * -1) = -1 + 1 = 0

Elemen baris 2, kolom 2 (A^2_22):
(-1 * 1) + (-1 * -1) = -1 + 1 = 0

Jadi, hasil perkalian matriks A^2 adalah:

   [ 0  0 ]
A^2 = [     ]
   [ 0  0 ]

Matriks nol (O) dalam konteks ini adalah matriks dengan semua elemennya nol, yaitu:

   [ 0  0 ]
O = [     ]
   [ 0  0 ]

Dengan demikian, A^2 = O. Ini menunjukkan bahwa meskipun matriks A bukan matriks nol, hasil kuadratnya (A^2) bisa saja merupakan matriks nol. Matriks seperti ini disebut sebagai matriks nilpotent.