Jika AB=a dan AC=b, serta titik A, B, dan C merupakan

Luas segitiga ABC = 1/2 |a x b| = 1/2 (|a|^2 |b|^2 - (a.b)^2)^1/2.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus luas segitiga ABC = 1/2(|a|^2.|b|^2-(a.b)^2)^1/2, kita dapat menggunakan definisi luas segitiga berdasarkan perkalian silang dua vektor. Misalkan vektor AB = a dan vektor AC = b. Luas segitiga ABC adalah setengah dari besar perkalian silang vektor a dan b:
Luas = 1/2 |a x b|
Kita tahu bahwa kuadrat dari besar perkalian silang dua vektor adalah:
|a x b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a.b)^2
Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita mendapatkan:
|a x b| = (|a|^2 |b|^2 - (a.b)^2)^1/2
Jadi, luas segitiga ABC = 1/2 (|a|^2 |b|^2 - (a.b)^2)^1/2. Dalam rumus ini, |a| adalah panjang vektor a (panjang sisi AB), |b| adalah panjang vektor b (panjang sisi AC), dan a.b adalah hasil perkalian skalar antara vektor a dan b.