Jika ada, tentukan semua nilai c agar persamaan berikut

Nilai c adalah $0 \le c \le \frac{1}{2}$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai c agar persamaan kuadrat $2 \sin^2 x - 2 \sin x + c = 0$ mempunyai penyelesaian, kita dapat memisalkan $y = \sin x$. Karena nilai $\sin x$ berada dalam rentang $[-1, 1]$, maka nilai $y$ juga harus berada dalam rentang yang sama, yaitu $-1 \le y \le 1$.

Persamaan menjadi $2y^2 - 2y + c = 0$.

Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel $y$. Agar persamaan kuadrat ini memiliki penyelesaian nyata untuk $y$, diskriminannya harus non-negatif, yaitu $D \ge 0$. Diskriminan dihitung dengan rumus $D = b^2 - 4ac$, di mana $a=2$, $b=-2$, dan $c=c$.

$D = (-2)^2 - 4(2)(c)$
$D = 4 - 8c$

Agar memiliki penyelesaian nyata untuk $y$, maka $4 - 8c \ge 0$, yang berarti $4 \ge 8c$, atau $c \le \frac{4}{8}$, yaitu $c \le \frac{1}{2}$.

Namun, kita juga harus memastikan bahwa akar-akar $y$ dari persamaan $2y^2 - 2y + c = 0$ berada dalam interval $[-1, 1]$.

Jika diskriminan $D > 0$ (yaitu $c < 1/2$), maka akar-akarnya adalah $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8c}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2c}}{2}$.

Kita perlu memeriksa apakah akar-akar ini berada dalam interval $[-1, 1]$.

Kasus 1: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 2c}}{2}$
Agar $y_1 \le 1$, maka $\frac{1 + \sqrt{1 - 2c}}{2} \le 1 \implies 1 + \sqrt{1 - 2c} \le 2 \implies \sqrt{1 - 2c} \le 1$. Kuadratkan kedua sisi (karena kedua sisi positif): $1 - 2c \le 1 \implies -2c \le 0 \implies c \ge 0$. Jadi, untuk akar ini, kita perlu $0 \le c < 1/2$.

Kasus 2: $y_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 2c}}{2}$
Akar ini selalu lebih kecil dari atau sama dengan 1 karena $\sqrt{1 - 2c} \ge 0$. Kita perlu memeriksa apakah $y_2 \ge -1$: $\frac{1 - \sqrt{1 - 2c}}{2} \ge -1 \implies 1 - \sqrt{1 - 2c} \ge -2 \implies 3 \ge \sqrt{1 - 2c}$. Kuadratkan kedua sisi: $9 \ge 1 - 2c \implies 8 \ge -2c \implies c \ge -4$. Jadi, untuk akar ini, kita perlu $-4 \le c < 1/2$.

Menggabungkan kedua kondisi, kita memerlukan $0 \le c < 1/2$.

Jika diskriminan $D = 0$ (yaitu $c = 1/2$), maka hanya ada satu akar $y = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Nilai $y = 1/2$ berada dalam interval $[-1, 1]$. Jadi, $c = 1/2$ juga memenuhi.

Jadi, nilai $c$ agar persamaan tersebut mempunyai penyelesaian adalah $0 \le c \le \frac{1}{2}$.