Nilai lim x->0 (akar(1-cos))/x adalah ...

√2 / 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan identitas trigonometri.
Soal meminta nilai dari lim x→0 (√(1 - cos x)) / x.

Kita tahu bahwa identitas trigonometri untuk kosinus adalah cos x = 1 - 2 sin²(x/2).
Maka, 1 - cos x = 2 sin²(x/2).

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan limit:
lim x→0 (√(2 sin²(x/2))) / x
= lim x→0 (√2 |sin(x/2)|) / x

Karena x → 0, maka x/2 → 0. Dalam kasus ini, sin(x/2) akan positif, sehingga |sin(x/2)| = sin(x/2).

Jadi, limit menjadi:
lim x→0 (√2 sin(x/2)) / x

Kita dapat memanipulasi persamaan agar sesuai dengan bentuk standar lim y→0 sin(y)/y = 1.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 1/2:
= lim x→0 (√2 sin(x/2)) / (2 * (x/2))
= (√2 / 2) * lim x→0 sin(x/2) / (x/2)

Karena lim y→0 sin(y)/y = 1, di mana y = x/2:
= (√2 / 2) * 1
= √2 / 2

Jadi, nilai dari lim x→0 (√(1 - cos x)) / x adalah √2 / 2.