Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+4x-2y-15=0

2x + y - 7 = 0 dan 2x + y + 13 = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu, kita perlu menggunakan rumus umum persamaan garis singgung lingkaran.

Lingkaran yang diberikan adalah: \( x^2 + y^2 + 4x - 2y - 15 = 0 \)
Gradien yang diinginkan (m) = -2

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Tentukan pusat (a, b) dan jari-jari (r) lingkaran.**
    Bentuk umum persamaan lingkaran adalah \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \).
    Kita ubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat:
    \( (x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 15 \)
    \( (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 15 + 4 + 1 \)
    \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 20 \)
    Dari sini, kita dapatkan:
    - Pusat lingkaran \( (a, b) = (-2, 1) \)
    - Jari-jari kuadrat \( r^2 = 20 \), sehingga \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

2.  **Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.**
    Rumus umum untuk garis singgung lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) dengan gradien \( m \) adalah:
    \( y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^2 + 1} \)

3.  **Substitusikan nilai a, b, r, dan m ke dalam rumus.**
    - \( a = -2 \)
    - \( b = 1 \)
    - \( r = \sqrt{20} \)
    - \( m = -2 \)

    \( y - 1 = -2(x - (-2)) \pm \sqrt{20} \sqrt{(-2)^2 + 1} \)
    \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{20} \sqrt{4 + 1} \)
    \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{20} \sqrt{5} \)
    \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{100} \)
    \( y - 1 = -2(x + 2) \pm 10 \)

4.  **Sederhanakan persamaan.**
    \( y - 1 = -2x - 4 \pm 10 \)

    Sekarang kita pisahkan menjadi dua kemungkinan:
    a)  \( y - 1 = -2x - 4 + 10 \)
        \( y - 1 = -2x + 6 \)
        \( y = -2x + 7 \)
        Atau dalam bentuk \( Ax + By + C = 0 \): \( 2x + y - 7 = 0 \)

    b)  \( y - 1 = -2x - 4 - 10 \)
        \( y - 1 = -2x - 14 \)
        \( y = -2x - 13 \)
        Atau dalam bentuk \( Ax + By + C = 0 \): \( 2x + y + 13 = 0 \)

Jadi, ada dua persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang memiliki gradien -2, yaitu \( y = -2x + 7 \) dan \( y = -2x - 13 \).