Command Palette

Search for a command to run...

Kelas SmamathGeometri

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+4x-2y-15=0

Pertanyaan

Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+4x-2y-15=0 dengan gradien -2 adalah ....

Solusi

Verified

2x + y - 7 = 0 dan 2x + y + 13 = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu, kita perlu menggunakan rumus umum persamaan garis singgung lingkaran. Lingkaran yang diberikan adalah: \( x^2 + y^2 + 4x - 2y - 15 = 0 \) Gradien yang diinginkan (m) = -2 Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. **Tentukan pusat (a, b) dan jari-jari (r) lingkaran.** Bentuk umum persamaan lingkaran adalah \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \). Kita ubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat: \( (x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 15 \) \( (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 15 + 4 + 1 \) \( (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 20 \) Dari sini, kita dapatkan: - Pusat lingkaran \( (a, b) = (-2, 1) \) - Jari-jari kuadrat \( r^2 = 20 \), sehingga \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). 2. **Gunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.** Rumus umum untuk garis singgung lingkaran \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) dengan gradien \( m \) adalah: \( y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{m^2 + 1} \) 3. **Substitusikan nilai a, b, r, dan m ke dalam rumus.** - \( a = -2 \) - \( b = 1 \) - \( r = \sqrt{20} \) - \( m = -2 \) \( y - 1 = -2(x - (-2)) \pm \sqrt{20} \sqrt{(-2)^2 + 1} \) \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{20} \sqrt{4 + 1} \) \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{20} \sqrt{5} \) \( y - 1 = -2(x + 2) \pm \sqrt{100} \) \( y - 1 = -2(x + 2) \pm 10 \) 4. **Sederhanakan persamaan.** \( y - 1 = -2x - 4 \pm 10 \) Sekarang kita pisahkan menjadi dua kemungkinan: a) \( y - 1 = -2x - 4 + 10 \) \( y - 1 = -2x + 6 \) \( y = -2x + 7 \) Atau dalam bentuk \( Ax + By + C = 0 \): \( 2x + y - 7 = 0 \) b) \( y - 1 = -2x - 4 - 10 \) \( y - 1 = -2x - 14 \) \( y = -2x - 13 \) Atau dalam bentuk \( Ax + By + C = 0 \): \( 2x + y + 13 = 0 \) Jadi, ada dua persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang memiliki gradien -2, yaitu \( y = -2x + 7 \) dan \( y = -2x - 13 \).

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Lingkaran
Section: Garis Singgung Lingkaran

Apakah jawaban ini membantu?