Jika (akar(2 akar(2)))logx = 1/(1-log5), maka x = ....

x = 10^(3/4)

Pembahasan

Soal ini melibatkan logaritma. Persamaan yang diberikan adalah (akar(2 akar(2)))logx = 1/(1-log5).
Pertama, kita sederhanakan basis logaritma: akar(2 akar(2)) = (2 * 2^(1/2))^(1/2) = (2^(3/2))^(1/2) = 2^(3/4).
Selanjutnya, kita sederhanakan bagian kanan persamaan: 1/(1-log5). Kita tahu bahwa 1 = log10. Maka, 1 - log5 = log10 - log5 = log(10/5) = log2. Jadi, bagian kanan menjadi 1/log2.
Persamaan menjadi (2^(3/4))logx = 1/log2.
Ini bisa ditulis ulang sebagai log x / log (2^(3/4)) = 1/log2.
Menggunakan sifat logaritma log_b a = log a / log b, kita dapatkan:
log_ (2^(3/4)) x = 1/log2.
Kita juga tahu bahwa 1/log2 = log2(10) (menggunakan perubahan basis logaritma, log_b a = 1 / log_a b).
Jadi, log_ (2^(3/4)) x = log2(10).
Ini belum terlihat sederhana. Mari kita coba cara lain.
Dari 2^(3/4) logx = 1/log2, kita bisa tulis:
logx = (1/log2) * (1 / 2^(3/4)) = 1 / (log2 * 2^(3/4)).
Menggunakan sifat logaritma lagi, log_b a = 1 / log_a b, maka 1/log2 = log2(10) jika basisnya 10.
Mari kita asumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma basis 10.
Basis logaritma: b = (2 * 2^(1/2))^(1/2) = (2^(3/2))^(1/2) = 2^(3/4).
Persamaan: b^(log x) = 1 / (1 - log 5).
Kita tahu 1 = log 10.
1 - log 5 = log 10 - log 5 = log(10/5) = log 2.
Jadi, persamaan menjadi 2^(3/4) log x = 1 / log 2.
Menggunakan sifat log a^b = b log a.
Ini bukan a^log b. Jadi basisnya adalah 2^(3/4).
(2^(3/4))^(log x) = 1 / log 2.
(2^(3/4))^(log_10 x) = log_2 10.
Ini masih rumit. Mari kita periksa kembali soalnya. Mungkin ada interpretasi lain dari basis logaritma.
Jika basisnya adalah akar(2 * akar(2)), maka b = 2^(3/4).
Soalnya adalah log_b x = 1 / (1 - log 5).
1 - log 5 = log 10 - log 5 = log (10/5) = log 2.
Jadi, log_{2^(3/4)} x = 1 / log 2.
Dengan sifat perubahan basis logaritma, 1 / log 2 = log_2 10.
Jadi, log_{2^(3/4)} x = log_2 10.
Ini berarti x = 10, asalkan basisnya sama. Namun, basisnya berbeda (2^(3/4) dan 2).
Mari kita coba interpretasi lain dari basis logaritma: (akar(2))(akar(2)). Ini sama dengan 2.
Jika basisnya adalah 2, maka log_2 x = 1 / (1 - log 5).
1 - log 5 = log 2.
Jadi, log_2 x = 1 / log 2.
1 / log 2 = log_2 10.
Jadi, log_2 x = log_2 10. Maka x = 10.
Namun, penulisan "akar(2 akar(2))" lebih mungkin berarti akar dari (2 dikalikan akar dari 2).
Mari kita uraikan kembali basis: b = akar(2 * akar(2)).
b = (2 * 2^(1/2))^(1/2) = (2^(1 + 1/2))^(1/2) = (2^(3/2))^(1/2) = 2^((3/2)*(1/2)) = 2^(3/4).
Persamaan: log_{2^(3/4)} x = 1 / (1 - log 5).
1 - log 5 = log 10 - log 5 = log(10/5) = log 2.
Persamaan menjadi: log_{2^(3/4)} x = 1 / log 2.
Gunakan sifat log_a b = c <=> a^c = b.
Jadi, (2^(3/4)) ^ (1 / log 2) = x.
Kita tahu bahwa 1 / log 2 = log_2 10.
Jadi, x = (2^(3/4)) ^ (log_2 10).
Menggunakan sifat a^(log_a b) = b, ini tidak berlaku langsung karena basisnya berbeda.
Menggunakan sifat a^(bc) = (a^b)^c.
x = (2^(log_2 10))^(3/4).
Karena 2^(log_2 10) = 10, maka:
x = 10^(3/4).
10^(3/4) = akar(akar(10^3)) = akar(akar(1000)).
Ini adalah jawaban yang mungkin. Mari kita periksa apakah ada penyederhanaan lebih lanjut atau jika ada asumsi basis logaritma yang berbeda.
Jika logaritma pada soal adalah logaritma natural (ln), maka 1 - ln 5.
Namun, biasanya jika basis tidak ditulis, itu adalah logaritma basis 10.
Mari kita kembali ke 2^(3/4) log x = 1 / log 2.
Jika kita ubah basis log x menjadi basis 2:
log x = log_2 x / log_2 10.
(2^(3/4)) * (log_2 x / log_2 10) = 1 / log 2.
(2^(3/4)) * log_2 x = (log_2 10) / log 2 = log_2 10 * log_2 10 = (log_2 10)^2.
Ini juga rumit.
Kembali ke x = 10^(3/4).
Periksa apakah ada pilihan jawaban yang cocok dengan ini.
Jika kita mengasumsikan bahwa penulisan "akar(2 akar(2))" adalah kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah "akar(2) * akar(2)" = 2, maka:
log_2 x = 1 / (1 - log 5) = 1 / log 2 = log_2 10.
Maka x = 10.
Jika yang dimaksud adalah "akar(2) + akar(2)" = 2akar(2) = 2^(3/2).
Maka log_{2^(3/2)} x = 1 / log 2 = log_2 10.
(2^(3/2)) ^ (log_2 10) = x.
(2^(log_2 10))^(3/2) = x.
10^(3/2) = x.
Mari kita asumsikan interpretasi yang paling literal dari basis: b = akar(2 * akar(2)) = 2^(3/4).
Persamaan: log_{2^(3/4)} x = 1 / (1 - log 5).
1 - log 5 = log 2.
log_{2^(3/4)} x = 1 / log 2.
Ini sama dengan x = (2^(3/4)) ^ (1 / log 2).
1 / log 2 = log_2 10.
x = (2^(3/4)) ^ (log_2 10).
x = (2^(log_2 10))^(3/4).
x = 10^(3/4).
Jika soal menanyakan bentuk sederhana dari x, maka 10^(3/4) adalah bentuknya. Jika harus diubah ke bentuk akar, maka akar(akar(1000)).
Tanpa pilihan jawaban, sulit untuk memastikan interpretasi yang benar. Namun, berdasarkan aturan aljabar logaritma, x = 10^(3/4) adalah hasil yang paling mungkin dari interpretasi basis sebagai akar(2 * akar(2)).