Jika akar-akar persamaan kuadrat 3x^2 + 5x + 1 = 0 adalah a

19

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat akar persamaan kuadrat dan aljabar.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah 3x^2 + 5x + 1 = 0.
Misalkan akar-akarnya adalah a dan b.
Menurut Vieta:
Jumlah akar: a + b = - (koefisien x) / (koefisien x^2) = -5/3
Perkalian akar: a * b = (konstanta) / (koefisien x^2) = 1/3

Kita ingin mencari nilai a^-2 + b^-2.
Ini dapat ditulis sebagai 1/a^2 + 1/b^2.
Untuk menjumlahkannya, kita samakan penyebutnya:
(b^2 + a^2) / (a^2 * b^2)
Ini bisa juga ditulis sebagai (a^2 + b^2) / (ab)^2.

Kita tahu bahwa (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, sehingga a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
Mari kita hitung a^2 + b^2:
a^2 + b^2 = (-5/3)^2 - 2(1/3) = 25/9 - 2/3 = 25/9 - 6/9 = 19/9.

Dan (ab)^2 = (1/3)^2 = 1/9.

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi yang kita cari:
a^-2 + b^-2 = (a^2 + b^2) / (ab)^2 = (19/9) / (1/9) = 19/9 * 9/1 = 19.

Jadi, nilai a^-2 + b^-2 adalah 19.

Jawaban yang benar adalah E. 19.