Jika besar nilai a = (cos 140 + cos 100)/(sin65 + sin 25)

Besar nilai theta adalah 225 derajat.

Pembahasan

Untuk mencari nilai \(\theta\), kita perlu menyederhanakan ekspresi untuk \(\cos \theta\) terlebih dahulu.

Misalkan \(\cos \theta = a
\(\cos \theta = \frac{\cos 140^\circ + \cos 100^\circ}{\sin 65^\circ + \sin 25^\circ}\)

Gunakan rumus jumlah dan selisih:
\(\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)
\(\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

Untuk pembilang (cos 140 + cos 100):
A = 140, B = 100
\(\frac{A+B}{2} = \frac{140+100}{2} = \frac{240}{2} = 120^\circ\)
\(\frac{A-B}{2} = \frac{140-100}{2} = \frac{40}{2} = 20^\circ\)
Jadi, \(\cos 140^\circ + \cos 100^\circ = 2 \cos 120^\circ \cos 20^\circ\)
Kita tahu \(\cos 120^\circ = -1/2\)
Jadi, pembilang = \(2 \times (-1/2) \times \cos 20^\circ = -\cos 20^\circ\)

Untuk penyebut (sin 65 + sin 25):
A = 65, B = 25
\(\frac{A+B}{2} = \frac{65+25}{2} = \frac{90}{2} = 45^\circ\)
\(\frac{A-B}{2} = \frac{65-25}{2} = \frac{40}{2} = 20^\circ\)
Jadi, \(\sin 65^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 20^\circ\)
Kita tahu \(\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2\)
Jadi, penyebut = \(2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \cos 20^\circ = \sqrt{2} \cos 20^\circ\)

Sekarang kita hitung nilai a:
\(a = \frac{-\cos 20^\circ}{\sqrt{2} \cos 20^\circ}\)
\(a = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Kita diberikan \(\cos \theta = a\), sehingga \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Kita tahu bahwa \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Karena \(\cos \theta\) bernilai negatif, maka \(\theta\) berada di kuadran II atau kuadran III.

Nilai \(\theta\) yang memenuhi \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) adalah \(135^\circ\) (di kuadran II) atau \(225^\circ\) (di kuadran III).

Soal menyatakan bahwa \(180 < \theta < 270\), yang berarti \(\theta\) berada di kuadran III.

Oleh karena itu, nilai \(\theta\) yang memenuhi adalah \(225^\circ\).

Jawaban Ringkas: Besar nilai \(\theta\) adalah \(225^\circ\).