lim x->2 (akar(x^2+5)-3)/(x^2-2x)=

Nilai limit adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi jika memungkinkan, atau jika menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan konjugat.

Substitusikan x = 2 ke dalam fungsi:
(akar(2^2+5)-3)/(2^2-2*2) = (akar(4+5)-3)/(4-4) = (akar(9)-3)/0 = (3-3)/0 = 0/0
Karena menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (akar(x^2+5)-3) adalah:
d/dx (akar(x^2+5)-3) = d/dx ((x^2+5)^(1/2)) - d/dx (3)
= (1/2)(x^2+5)^(-1/2) * (2x) - 0
= x / akar(x^2+5)

Turunan dari penyebut (x^2-2x) adalah:
d/dx (x^2-2x) = 2x - 2

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital:
lim x->2 (x / akar(x^2+5)) / (2x - 2)

Substitusikan x = 2 lagi:
(2 / akar(2^2+5)) / (2*2 - 2)
= (2 / akar(4+5)) / (4 - 2)
= (2 / akar(9)) / 2
= (2 / 3) / 2
= 2 / (3 * 2)
= 2 / 6
= 1/3

Jadi, lim x->2 (akar(x^2+5)-3)/(x^2-2x) = 1/3.