Jika bilangan log (a^(3) b^(7)), log (a^(5) b^(12)), dan

Nilai n adalah 112.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep barisan aritmetika dan sifat-sifat logaritma.

Diketahui tiga suku pertama barisan aritmetika:
U1 = log (a³b⁷)
U2 = log (a⁵b¹²)
U3 = log (a⁸b¹⁵)

Dalam barisan aritmetika, berlaku U2 - U1 = U3 - U2 = beda (b).

U2 - U1 = log (a⁵b¹²) - log (a³b⁷) = log (a⁵b¹²/a³b⁷) = log (a²b⁵)
U3 - U2 = log (a⁸b¹⁵) - log (a⁵b¹²) = log (a⁸b¹⁵/a⁵b¹²) = log (a³b³)

Karena U2 - U1 = U3 - U2, maka:
log (a²b⁵) = log (a³b³)

Ini berarti:
a²b⁵ = a³b³
b² = a

Sekarang kita perlu mencari beda barisan aritmetika tersebut:
b = log (a²b⁵)
Karena a = b², substitusikan a:
b = log ((b²)²b⁵) = log (b⁴b⁵) = log (b⁹)

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = U1 + (n-1)b.
Kita mencari suku ke-12 (U12):
U12 = U1 + (12-1)b
U12 = log (a³b⁷) + 11 * log (b⁹)
U12 = log (a³b⁷) + log (b⁹⁹)
U12 = log (a³b⁷ * b⁹⁹)
U12 = log (a³b¹⁰⁶)

Karena a = b², substitusikan a:
U12 = log ((b²)³b¹⁰⁶)
U12 = log (b⁶b¹⁰⁶)
U12 = log (b¹¹²)

Diketahui bahwa suku ke-12 adalah log (bⁿ). Maka:
log (bⁿ) = log (b¹¹²)
n = 112

Jadi, nilai n adalah 112.