Jika cos B sin (A-theta)=cos theta sin (B-A), tunjukkan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan dapat disederhanakan menjadi tan A = sin(B + theta) / (2 cos B cos theta).

Pembahasan

Diberikan persamaan cos B sin (A - theta) = cos theta sin (B - A).
Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa tan A = sin(theta + B) / (2 cos theta cos B).

Mari kita gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan persamaan yang diberikan.

cos B sin (A - theta) = cos theta sin (B - A)

Kita tahu bahwa sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y.
Jadi, sin(A - theta) = sin A cos theta - cos A sin theta.
Dan sin(B - A) = sin B cos A - cos B sin A.

Substitusikan ini ke dalam persamaan awal:
cos B (sin A cos theta - cos A sin theta) = cos theta (sin B cos A - cos B sin A)

Distribusikan:
cos B sin A cos theta - cos B cos A sin theta = cos theta sin B cos A - cos theta cos B sin A

Sekarang, kita ingin mengisolasi suku-suku yang mengandung tan A (sin A / cos A).
Mari kita kelompokkan suku-suku yang memiliki sin A dan cos A.

Tambahkan cos B cos A sin theta ke kedua sisi:
cos B sin A cos theta = cos theta sin B cos A - cos theta cos B sin A + cos B cos A sin theta

Tambahkan cos theta cos B sin A ke kedua sisi:
cos B sin A cos theta + cos theta cos B sin A = cos theta sin B cos A + cos B cos A sin theta

Faktorkan cos B sin A dari sisi kiri:
cos B sin A (cos theta + cos theta) = cos theta sin B cos A + cos B cos A sin theta

Ini tampaknya tidak mengarah ke bentuk yang diinginkan. Mari kita coba pendekatan lain.

Mari kita kembali ke:
cos B sin A cos theta - cos B cos A sin theta = cos theta sin B cos A - cos theta cos B sin A

Kita ingin mendapatkan tan A. Mari kita bagi kedua sisi dengan cos A cos theta cos B (jika cos A, cos theta, cos B tidak nol).

Bagikan dengan cos A:
cos B (sin A cos theta / cos A) - cos B (cos A sin theta / cos A) = cos theta (sin B cos A / cos A) - cos theta cos B (sin A / cos A)

cos B tan A cos theta - cos B sin theta = cos theta sin B - cos theta cos B tan A

Kelompokkan suku yang mengandung tan A:
cos B tan A cos theta + cos theta cos B tan A = cos theta sin B + cos B sin theta

Faktorkan tan A:
tan A (cos B cos theta + cos theta cos B) = cos theta sin B + cos B sin theta

tan A (2 cos B cos theta) = sin B cos theta + cos B sin theta

Menggunakan identitas sin(B + theta) = sin B cos theta + cos B sin theta:

tan A (2 cos B cos theta) = sin(B + theta)

Bagi kedua sisi dengan (2 cos B cos theta):

tan A = sin(B + theta) / (2 cos B cos theta)

Ini sesuai dengan bentuk yang diminta, hanya saja urutan theta dan B pada sin(theta + B) dibalik, yang tidak mengubah nilainya karena sifat komutatif penjumlahan.